[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções da obm-u

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Olá, Márcio!

Eu e o Cláudio andamos discutindo o problema... eu encontrei a solução para
a soma e o Cláudio facilmente extendeu para o produto.

bom, aqui vai a minha solução

é simples verificar que existe um se f e g são bacanas existe um inteiro n
tal que existem P[i], Q[i], i = 0...n-1 não todos nulos tais que:
soma {P[i]*f^i(t), i=0..n-1} = 0 = soma {Q[i]*g^i(t), i=0..n-1}

para qualquer N >= n podemos obter uma combinação linear (com coeficientes
em F[t]) de f^i (t) com 0<=i<n que expresse f^N (t), de forma análoga temos
o resultado para g.
a demonstração disso é bem direta:
f^n (t) = u_0*f(t) + u_1*f'(t) + ... + u_(n-1)*f^(n-1) (t)
f^(n+1) (t) = [u_0*f(t) + ... + u_(n-1)*f^(n-1) (t)]' =
  u_0'*f(t) + (u_0 + u_1')*f'(t) + (u_1 + u_2') f''(t) + ...
  + [u_(n-2) + u_(n-1)']*f^(n) (t)

e f^(n) (t) é expresso como comb. linear de f, f', ..., f^(n-1) e o
resultado sai por indução.

considere o espaço vetorial F[t]^(2n)
podemos exibir um mapa entre as funções e vetores nesse espaço vetorial
imaginando o produto interno do vetor por (f, f', ..., f^(n-1), g, g', ...,
g^(n-1))

definimos o mapa então como:
f + g -> (1, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
f' + g' -> (0, 1, ..., 0, 0, 1, 0, ..., 0)
...
f^(n-1)+g^(n-1) = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 1)

mapeando f^(i)+g^(i) com i=0..2n obtemos 2n+1 vetores
mas 2n+1 vetores num EV de dimensão 2n são linearmente dependentes, o que
implica dizer que existem elementos w_i em F[t] tais que:
w_0*(f+g) + w_1*(f' + g') + ... + w_2n*(f^(2n) + g^(2n)) = 0

e assim provamos que f+g é bacana.

f*g sai de forma similar.

a demonstração de vocês é diferente disso?

[ ]'s

----- Original Message ----- 
From: "Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@superig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 18, 2004 8:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções da obm-u


    Oi Domingos, no meu último email para essa lista eu mostrei que se a e b
sao algebricos, entao a+b e ab tmb sao, adaptando a ideia que o Carlos usou
para resolver a questao 5 da obm-u do ano passado.. De uma lida nesse email
e tente adaptar (note que eh muito parecido dizer que a satisfaz a^n +
p1*a^n-1 + ... pn = 0 com (pi)'s racionais e dizer que uma funcao f satisfaz
f^n + p1*f^n-1 + ... + pn com (pi)'s funcoes racionais e f^k sendo a k-esima
derivada), pq a coisa eh essencialmente a mesma. Se vc nao conseguir,
pergunte que eu completo os detalhes!
    Abraços,
    Marcio.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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