Re: [obm-l] Forma canonica...

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Wendel Scardua <articuno@linux.ime.usp.br> wrote:
> > Suponhamos que S>0 seja fixo e, para cada n,
> tenhamos
> > resolvido o problema de maximizar o produto, com
> as 
> > restricoes de nao negatividade. Para cada n, temos
> > P_max(n) = (S/n)^n, a qual eh uma sequencia
> > decrescente que tende pra 0. Logo Max (em n) de
> > P_max(n) eh obtido para n=2, ou seja S^2/4. (estou
> > desconsiderando  caso n=1)
> > Artur

Conforme vc mostrou na sua outra mensagem, isto foi um
engano. A sequencia tende a zero para todo S>0 mas nao
eh sempre decrescente. 
Para vermos que ela tende a zero, acho que fica mais
facil considerarmos a funcao f:(0,+inf) --> R dada
por: f(x) = (S/x)^x, conforme o Claudio fez na outra
mensagem. Para x> 2S, temos que 0<S/x <1/2 e 0<f(x)<
(1/2)^x. Como o segundo membro tende a zero quando x->
inf e domina o primeiro membro para x>2S, o confronto
das expressoes nos mostra que f(x) -> 0 quando x-> inf
. Logo, igual conclusao vale quando restringimos f aos
naturais, obtendo a sequencia em discussao. Na
realidade, isto eh consequencia direta do fato de que
S/x ->0 quando x-> inf.

Conforme o Claudio jah mostrou na outra mensagem,
f'(x) = f(x)*[ln(S) - ln(x) -1] = f(x)*[ln(S/x) - 1],
que se anula em x = S/e. Como f eh sempre postiva, f'
eh negativa para 0<x<S/e e positiva para x>S/e. Logo,
f tem um maximo global em S/e. Saindo do dominio
(0,inf) e voltando aos naturais, caso da sequencia,
isto nos mostra que, se S<=e, a sequencia eh sempre
decrescente e seu maximo ocorre para n=1, se
incluirmos 1, ou n=2, se partirmos de 2. Se S>e, o
maximo da sequencia vai ocorrer ou no maior inteiro <=
S/e ou no menor inteiro >= S/e. Aih cabe analisar
mais.
Vale a conclusao, para mim principalmente, que, mesmo
em casos nao tao dificeis como este, nao podemos
tentar resolver as coisas no olhometro, aproveitando
um intevalozinho no trabalho.
Artur  



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