Re: [obm-l] Problema sobre um Anel

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 16.02.04 19:50, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> 
> 
>> -----Original Message-----
>> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
>> Behalf Of Nicolau C. Saldanha
>> Sent: Sunday, February 15, 2004 1:27 PM
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: Re: [obm-l] Problema sobre um Anel
>> 
>> On Sun, Feb 15, 2004 at 10:02:53AM -0300, Claudio Buffara wrote:
>>> Oi, pessoal:
>>> 
>>> Esse aqui tah dando trabalho:
>>> 
>>> Seja (A,(+),(*)) um anel, onde:
>>> A = conjunto dos racionais no intervalo [0,1);
>>> a (+) b = a + b (mod 1), ou seja:
>>> a + b < 1 ==> a (+) b = a + b    e    a + b >= 1 ==> a (+) b = a + b - 1.
>>> 
>>> Prove que a (*) b = 0, para quaisquer a, b em A.
>> 
>> Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos
>> entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0
> Eu fiquei com duvida, porque podemos afirmar que (a* 1/a)*1= 0?
>
Oi, Artur:

A primeira multiplicacao nao eh a do anel e sim a multiplicacao usual de
numeros racionais ou inteiros.
Assim a * 1/a = 1/a + 1/a + ... + 1/a (a termos) = 1 == 0 (mod 1) e,
portanto, (a * 1/a) (*) 1/b = 0 (*) 1/b = 0, jah que 0 (*) x = 0 em qualquer
anel.

Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio.

> 
>> e analogamente b*(1/a * 1/b) = 0 (aqui a multiplicação por a e por b
>> não é a multiplicação do anel, é multiplicar um inteiro por um elemento
>> de um grupo aditivo). Mas existem inteiros c e d tais que ad - bc = 1.
>> Assim (1/a * 1/b) = (ad - bc)*(1/a * 1/b) = d*0 - c*0 = 0.
>> 
>> Vamos agora provar que 1/p^a * 1/p^b = 0, onde p é um primo e a e b
>> são inteiros positivos. Seja x = 1/p^a * 1/p^{b+a}. Claramente
>> p^a * x = (p^a * 1/p^a)*1/p^{b+a} = 0*1/p^{b+a} = 0.
>> Por outro lado p^a * x = 1/p^a * (p^a * 1/p^{b+a}) = 1/p^a * 1/p^b.
>> 
>> Mas todo racional pode ser escrito como soma de racionais de denominador
>> potência de primo. Isto mostra que o produto é zero sempre.
>> 
>> []s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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