[obm-l] Periodo de uma funcao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 27.01.04 21:17, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Tue, Jan 27, 2004 at 04:07:45PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
>> Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1)
>> para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine
>> todos os valores possíveis para o período fundamental.
>> 
>> []s, N.
>> 
>> Temos que f(x+1) = f(x+2) + f(x) = f(x+2) + f(x+1) + f(x-1). Logo, f(x+2) =
>> -f(x-1) para todo real x. Decorre portanto que f(x+3) = -f(x)  e que f(x+6)
>> = -f(x+3) = f(x). Logo, f eh periodica e 6 e um periodo da mesma.
> 
> Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema
> de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período
> fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n.
> Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos fundamentais
> 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ...
> 
> O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
> não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
> mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
> se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
> É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
> 
> []s, N.

Oi, Nicolau e Artur:

A meu ver, o Artur tambem mostrou que se o conjunto dos periodos tiver um
minimo (positivo), entao 3 nao eh periodo, pois f(x+3) = -f(x) para todo x.

Alem disso, 2 nao eh periodo, pois se fosse teriamos f(x+1) = 2f(x) ==>
f(x) = f(x+2) = 2f(x+1) = 4f(x) ==> f(x) = 0 para todo x ==> contradicao,
pois estamos supondo que o conjunto dos periodos tem um minimo.

1 tambem nao eh periodo, pois se fosse, 2 = 2*1 tambem seria.

O argumento acima elimina periodos da forma 6/(2^r*3^s) com r + s >= 1, mas
continua permitindo que exista alguma f com periodo 6/5, por exemplo.

Com periodo 6, eu consegui pensar em f(x) = sen(pi*x/3) e g(x) = cos(pi*x/3)
==> ambas satisfazem a f(x+1) = f(x+2) + f(x).
Interessante eh que f(x) = sen(5*pi*x/3) e g(x) = cos(5*pi*x/3), ambas com
periodo 6/5 tambem satisfazem a equacao funcional.
O mesmo ocorre para f(x) = sen(7*pi*x/3) e g(x) = cos(7*pi*x/3) ==> periodo
6/7.

Assim, eu conjecturaria que se o conjunto dos periodos de uma dada funcao
nesta classe tiver um minimo, ele serah da forma 6/n, onde mdc(n,6) = 1.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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