Re: [obm-l] Lema de Zorn

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 09, 2004 at 10:10:27AM -0200, tyum@zipmail.com.br wrote:
> Alguém saberia dizer algum livro interessante que explique bem o Lema de
> Zorn??

O meu livro favorito de introdução à Teoria do Conjuntos é o
Naïve Set Theory, do Paul R. Halmos. Existe uma tradução para o português.
Se você estiver interessado em um livro mais especializado tem o
The Axiom of Choice, do T. Jech.

O Lema de Zorn diz o seguinte. Seja A um conjunto. Alguns subconjuntos
de A são chamados "bons". Sabemos que se X é uma cadeia de conjuntos
bons então a união de todos os conjuntos em X também é um conjunto bom.
O Lema de Zorn então garante que existe um conjunto bom maximal.

Um conjunto de conjuntos X é uma cadeia se para todos Y1 e Y2 em X,
ou Y1 está contido em Y2 ou Y2 está contido em Y1.
Um conjunto bom Z é maximal se não existir nenhum conjunto bom Z'
tal que Z está estritamente contido em Z'.

Como exemplo de aplicação, vou provar usando o Lema de Zorn que se
B1 e B2 são dois conjuntos quaisquer então ou existe uma função injetora
de B1 em B2 ou existe uma função injetora de B2 em B1 (ou as duas coisas).
Seja A = B1 x B2, o produto cartesiano de B1 com B2. Um subconjunto Z de
A é dito bom se sempre que (b1,b2) e (b1',b2') forem elementos distintos
de Z então b1 é diferente de b1' e b2 é diferente de b2'. É bem fácil
verificar a condição sobre cadeias.

Ora, o Lema de Zorn nos diz que existe Z bom maximal. Afirmo que ou a
projeção de Z na primeira coordenada é B1, ou a projeção na segunda
coordenada é B2 (ou as duas coisas). De fato, se nenhuma das duas
projeções fosse igual a Bi então existiria um par (b1,b2) com b1
fora da projeção na 1a coordenada de Z e b2 fora da projeção na 2a
coordenada de Z. Assim Z' = Z U {(b1,b2)} seria bom e Z estaria
estritamente contido em Z', o que contraria a maximalidade de Z.
Assim demonstramos (por absurdo) a afirmação.

Agora se a projeção de Z na 1a coordenada é B1 então Z é o gráfico
de uma função injetora de B1 em B2. Analogamente, se a projeção de Z
na 2a coordenada é B2 então Z^t (obtido trocando a ordem de cada par em Z)
é o gráfico de uma função injetora de B2 em B1.

A afirmação que eu acabei de provar pode parecer "óbvia". De fato
o axioma da escolha (e o lema de Zorn) são sutis neste sentido,
o que eles dizem muitas vezes pode parecer "óbvio". Mas Gödel e Cohen
já demonstraram que apesar das aparências, o axioma da escolha *não*
é uma conseqüência dos outros axiomas da teoria dos conjuntos.
Por outro lado, a quase totalidade dos matemáticos trabalha com a hipótese
implícita ou explícita de que o axioma da escolha é "verdadeiro",
isto é, nem se dão ao trabalho de avisar que estão usando o axioma
e acham que a idéia de fazer matemática sem poder usar o axioma da escolha
é estranha, bizarra, anti-intuitiva e provavelmente inútil.

[]s, N.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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