RE: [obm-l] Trigonometria - uma correcao

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olá a todos
Eu ontem mandei para a lista uma mensagem sobre este assunto e depois notei
que tinha cometido um engano. A conclusao final nao se altera, mas, na
realidade, houve um engano na hora de tomar as determinacões de arcos que
tem o mesmo seno (afinal de contas, ontem foi 31/12...)
Estou agora reenviando a mensagem com a correcao. Espero que agora esteja
tudo certo
Um abraco  

Temos que, no 1o quadrante, o seno eh estritamente crescente e o cosseno eh
estritamente decrescente. Logo, neste mesmo quadrante sen(cos) eh cos(sen)
sao ambas estritamente decrescentes. No ponto inicial, 0, temos que
sen(cos(0)) = sen(1)=~ 0,841 < 1 = cos(sen(0)) (em radianos). Podemos
tambem concluir esta desigualdade observando que 1 < Pi/2 e, portanto,
sen(1) < sen(Pi/2) =1.
Para que sen(cos(u)) = cos(sen(u)), devemos ter sen(cos(u)) = sen(Pi/2 -
sen(u)). Os senos de dois arcos igualam-se sse suas determinacoes
coincidirem ou se sua soma for Pi. Logo, no primeiro caso devemos ter cos
(u) = 2*k*Pi + Pi/2 - sen(u) para algum inteiro k. Segue-se portanto que
sen(u) + cos (u) = raiz(2)* sen(Pi/4 + u) = (2k+1/2) * Pi. Mas para todo u
temos que |raiz(2)sen(Pi/4 + u)| <= raiz(2) e para todo inteiro k temos
|(2k+1/2) * Pi| >= Pi/2 > Raiz(2). Logo, a primeira hipotese nunca se
verifica.
No segundo caso, devemos ter cos (u) + Pi/2 - sen(u)= 2*k*Pi + Pi para algum
inteiro k. Logo, cos(u) - sen(u) = raiz(2)* cos(Pi/4 +u) = (2k+1/2)*Pi. Mas,
para todo u e todo inteiro k temos que |raiz(2)* cos(Pi/4 +u)| <= raiz(2) e
|(2k+1/2) * Pi| >= Pi/2 > raiz/2, do que concluimos que a segunda hipotese
tambem jamais se concretiza.  
Como consequencia, segue-se que sen(cos(u)) <> cos(sen(u)) para todo real u.
 
Da continuidade das funcoes sen e cos em R, e, portanto, da continuidade
das compostas sen(cos) e cos(sen), segue-se que, como sen(cos(x)) <
cos(sen(x)) para x = 0, entao  sen(cos(x)) < cos(sen(x)) para todo real x.
Se houvesse inversao no sentido da desigualdade, as duas curvas, face a suas
continuidades, teriam que se intersectar em algum ponto, o que, como vimos
nao ocorre.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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