RE: [obm-l] Trigonometria

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Temos que, no 1o quadrante, o seno eh estritamente crescente e o cosseno eh
estritamente decrescente. Logo, neste mesmo quadrante sen(cos) eh cos(sen)
sao ambas estritamente decrescentes. No ponto inicial, 0, temos que
sen(cos(0)) = sen(1)=~ 0,841 < 1 = cos(sen(0)) (em radianos). Podemos tambem
concluir esta desigualdade observando que 1 < Pi/2 e, portanto, sen(1) <
sen(Pi/2) =1.
Para que sen(cos(u)) = cos(sen(u)), devemos ter sen(cos(u)) = sen(Pi/2 -
sen(u)). Os enos de dois arcos igualam-se sse suas determinacoes diferirem
de Pi. Logo, para que a igualdade se verifique devemos ter k*Pi + Pi/2 -
sen(u) = cos(u) para algum inteiro k. Segue-se que sen(u) + cos (u) =
raiz(2) sen(Pi/4 + u) = (k+1/2) * Pi. Mas para todo u temos que | raiz(2)
sen(Pi/4 + u)| <= raiz(2) e para todo k temos |(k+1/2) * Pi| >= Pi/2 >
raiz(2). Logo, nunca teremos sen(cos(u)) = cos(sen(u)).
Da continuidade das funcoes sen e cos em R, e, portanto, da continuidade das
compostas sen(cos) e cos(sen), segue-se que, como sen(cos(x)) < cos(sen(x))
para x = 0, entao  sen(cos(x)) < cos(sen(x)) para todo real x. Se houvesse
inversao no sentido da desigualdade, as duas curvas teriam que se
intersectar em algum ponto, o que, como vimos nao ocorre. 
Um abraco e bom 2004
Artur


-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Jefferson Franca
Sent: Tuesday, December 30, 2003 11:17 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Trigonometria

Caros amigos participantes da lista, durante algum tempo a questão q vou
propor tem me deixado intrigado a bendita é a seguinte:Seja x um ângulo do 1
quadrante, qual é o maior sen(cosx) ou cos(senx) ?



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