[obm-l] Pontos de condensacao em R

["Artur Coste Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu gostaria de explorer um pouco mais aquela questao que foi lancada alguns
dias atras pelo Domingos. Vamos tentar provar que, se S eh um subconjunto
nao numeravel de R, entao (1) O conjunto B dos pontos de condensacao
bilaterias de S nao eh numeravel e (2), o conjunto U dos pontos de
condensacao unilaterias de S eh numeravel.
Sabemos que, se P eh o conjunto dos pontos de condensacao de S, entao P eh
fechado e nao numeravel (isto jah foi provadao aqui na lista, para espacos
metricos gerais). Sendo W o complementar de P, temos que W eh aberto e,
portanto, W = Uniao (a_n , b_n), uma uniao numeravel de intervalos abertos
disjuntos 2 a dois. Alem disto, a intersecao de W com S eh numeravel. Temos
entao que P eh dado por uma uniao numeravel de intervalos fechados da forma
[b_n , a_n+1]. Nunca teremos b_n = a_n+1, pois, se isto ocorresse, b_n =
a_n+1 nao seria ponto de condensacao de S. Definamos W* = Uniao [a_n , b_n].
Entao, W* contem todos os reais que nao sao pontos de condensacao de S. Como
os a_n's e b_n's nao pertencem a W, segue-se que sao pontos de condensacao
de S. Da definicao dos intervalos (a_n, b_n),  verificamos que os pontos de
S nao podem se condensar aa direita de a_n, pois (a_n, b_n) intersecta S
segundo uma quantidade enumeravel de elementos. Similarmente, nao podem se
condensar aa esquerda de b_n. Logo, os a_n's e b_n's sao pontos de
acumulacao unilaterais. 
Ser x e ponto de condensacao de S, entao existe um n tal que x estah em [b_n
, a_n+1]. Suponhamos que b_n < x < a_n+1. Se os pontos de S nao se
condensarem aa direita de x, existe entao 0<eps <a_n+1 - x tal que (x,
x+eps) contem apenas uma quantidade numeravel de elementos de S, o que
contraria o fato de todos os elementos de (x, x+eps) sao pontos de
condensacao de S. De modo similar, verificamos que a hipotese de que os
elementos de S nao se condensem aa esquerda de x leva igualmente a
contradicao. Logo, x e ponto de condensacao bilateral de S. Disto concuimos
que B eh dado pela uniao de intervalos abertos da forma (b_n , a_n+1), sendo
assim um conjunto aberto e, portanto, nao numeravel. Isto prova (1). Por
outro lado, U = {a1, b1, a2, b2.....}, logo um conjunto numeravel, o que
prova (2).
Temos ainda umas conclusoes interessantes:
(a) Como U = P -B, sendo P fechado e B aberto, segue-se que U eh fechado.
(b) Por ser um subconjunto de U, temos que U inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao unilateral o mesmo, eh
numeravel. 
(c) Temos que P inter S = (B inter S) Uniao (U inter S). Como P inter S nao
eh numeravel e U inter S eh, segue-se que B inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao bilateral do mesmo, nao eh
numeravel. 
(d) Como B eh aberto, todo x de B possui um intervalo aberto I contido em B.
Logo, todo x de B eh ponto de condensacao bilateral de B. 
(e) Se x pertence a B inters S e I =(x, eps), eps >0, entao I inter S = (I
inter S inter B) Uniao (I inter S inter U) Uniao (I inter S inter W). Temos
que I inter S nao eh numeravel, I inter S inter U eh numeravel e I inter S
inter W eh numeravel. Logo I inter S inter B nao eh numeravel. Como uma
conclusao similar vale para o intervalo (x-eps, x) , concluimos que se x
estah em B inter S, entao x e ponto de acumulacao bilateral de B inter S.

Espero que isto tudo esteja certo. Eu tenho ainda a impressao de que B inter
S eh aberto e U inter S eh fechado, mas nao provei.
Um abraco
Artur 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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