Re: [obm-l] como provar isso?

["Will" <will@xxxxxxxxxx>]

O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro de
Teoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria.  Prove que N^5 - N é
divisível por 30 :-))

Will

----- Original Message -----
From: "Ricardo Bittencourt" <ricbit@700km.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, December 19, 2003 12:52 AM
Subject: Re: [obm-l] como provar isso?


Robson Jr wrote:

> Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
> sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).

Isso em base 10 né ?

Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
souber, então fica bem mais fácil!

k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:

k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)

A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,
então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.

Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:

k^(5-1)=1 (mod 5)
k^4=1 (mod 5) e portanto:
k^5=k (mod 5)

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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