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Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Title:
Claudio Buffara wrote:
Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
on 16.12.03 00:52, Pedro Antonio Santoro Salomao at ssalomao@zaz.com.br
wrote:
Claudio Buffara wrote:
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:
Olá!
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S
que
é denso (ie: para todo x < y em T existe z em T com x < z < y).
Obrigado.
Oi, Domingos.
O que voce acha disso aqui?
Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y
tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah
uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
Oi Claudio,
Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere
S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero
diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.
*** OK, mas nesse caso, R - S = (-inf,0) U (1,+inf) U Uniao(n>=0) (1/2^(n+1),1/2^n)
= uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Nesse caso,
o conjunto A seria {(-inf,0); (1,+inf); (1/2,1); (1/4,1/2); (1/8,1/4); ...}.
Entretanto, a funcao F acima nao estah bem definida, pois (-inf,0) nao eh
imagem de nenhum elemento de S. Mas isso eh facil de corrigir. Em geral,
se A contiver um intervalo ilimitado inferiormente, escolhemos "a" pertencente
a R - S (se R - S = vazio, entao S = R eh claramente denso) e definimos F:
S U {a} -> A por: F(a) = o tal intervalo ilimitado e, para x em S, F(x)
= intervalo cujo infimo eh x.
A minha demonstracao baseia-se no fato de que, se nenhum subconjunto de
S eh denso, entao, em particular, S nao eh denso ==> R - S = uniao enumeravel
de intervalos abertos disjuntos dois a dois.
Claudio,
Entendi sua ideia. Acho que e' verdade essa ultima afirmacao, mas nao me
parece tao facil mostrar. De qualquer forma, se for verdade, entao sua solucao
realmente e' bem mais simples.
Um abraco. Pedro.
Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar
que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois
subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e
os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade
*)
Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao
a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:
1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter
K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.
2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em
(0,1) que tem a propriedade * em (0,1).
3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles
dois.
4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1)
respectivamente.
5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e'
nao enumeravel em cada um deles.
6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos
no passo anterior.
A uniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)
Construimos quase um conjunto de Cantor.
Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais
dificil.
Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos
um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda
ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1]
e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita,
como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao
podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].
Temos M <= m. Isso e' facil mostrar.
Temos:
S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves
de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos
um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao
pela definicao de E.
S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D.
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina
totalmente a demonstracao.
Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema
nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais simples
que eu nao estou vendo ou talvez mesmo essa solucao tenha algum erro.
Nao cheguei a acompanhar todos os detalhes da sua solucao, mas se estiver
certa, parece bem mais simples que a minha.
Um abraco.
Pedro.
Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A -> Q dada por G(I)
=
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume
que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q
e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como
Q
eh enumeravel, A tambem serah.
Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S -> Q eh injetiva)
==>
contradicao ==>
algum subconjunto de S tem que ser denso.
Serah que tah certo?
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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