Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs.densos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:

> Olá!
> 
> Gostaria de provar o seguinte resultado:
> Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
> é denso (ie: para todo x < y em T existe z em T com x < z < y).
> 
> Obrigado.
> 
Oi, Domingos.

O que voce acha disso aqui?

Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.

Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A -> Q dada por G(I) =
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q
eh enumeravel, A tambem serah.

Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S -> Q eh injetiva) ==>
contradicao ==>
algum subconjunto de S tem que ser denso.

Serah que tah certo?

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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