Re: [obm-l] 2 dúvidas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] 2 dúvidas

on 11.12.03 11:00, Fábio Bernardo at fgb1@terra.com.br wrote:

> Amigos, ajudem-me por favor.
>  
> 1) Seja An=6^n+8^n. Determine o resto da divisão de A83 por 49
> a)5
> b)13
> c)27
> d)35
> e)42
>  
> Como mdc(6,49) = mdc(8,49) = 1, podemos usar o teorema de Euler.
> Phi(49) = 49*(1-1/7) = 42 ==>
> 6^42 == 8^42 == 1 (mod 49) ==>
> 6^84 == 8^84 == 1 (mod 49)
>
> Os inversos de 6 e 8 (mod 49) sao, respectivamente, -8 e -6 (no sentido de que 6*(-8) == 8*(-6) == 1 (mod 49).
>
> Logo:
> 6^83 == 6^84*(-8) == -8 mod (49)   e   8^83 == 8^84*(-6) == -6 (mod 49)
>
> Portanto, 6^83 + 8^83 == (-8) + (-6) == - 14 == 35 (mod 49) ==> 
> alternativa (d)
>
>
> *****
>
> 2) Considere a equação x^x=k, x pertence aos reais positivos e diferente de zero e k é uma constante. Pode-se afirmar que:
> a) k=4, a equação possui 2 soluções
> b) k=0,5 a equação possui 3 soluções reais
> c) k=2 a equação terá 3 soluções
> d) não existe k tal que a equação tenha solução
> e) k=1/8 a equação nõ possui solução
>
> Seja f:(0,+infinito) --> (0,+infinito) dada por f(x) = x^x.
>
> lim(x->0+) f(x) = 1
>   
> f'(x) = ln(ex)*x^x ==> 
> 0 < x < 1/e ==> f'(x) < 0;
> f'(1/e) = 0
> x > 1/e ==> f'(x) > 0  e  f(x) > f(1/e) = 1/e^(1/e) ~ 0,6922...
>
> Isso quer dizer que x = 1/e eh a abscissa do ponto minimo da funcao f, cuja ordenada eh igual a f(1/e) ==> f^(-1)(1/8) = vazio ==> alternativa (e)
>
> (a) e (c) sao falsas pois 4 > 2 > f(1/e). Logo, x^x = 2  e  x^x = 4 possuem apenas uma solucao cada.
>
> (b) eh falsa pois 0,5 < f(1/e) ==> x^x = 0,5 nao possui solucao
>
> (d) eh falsa pois qualquer k entre 0 e 1/e eh um contraexemplo. 
> . Logo, para x > 1/e, f eh estritamente crescenteecnte 
> Desde já agradeço.
>