Re: [obm-l] Sequencia crescente

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Duda:

Maravilha! Muito obrigado.

Agora, considere a sequencia (A(k)) dada por:
A(k) = numero de termos de (a(n)) que sao <= k.

Se existe d = lim(k->+infinito) A(k)/k, dizemos que a sequencia (a(n)) tem
densidade = d. Caso contrario, soh podemos falar em densidade inferior e
densidade superior, dadas pelo liminf e pelo limsup de A(n)/n,
respectivamente.

Soh que, pro caso da sua (a(n)), obtemos:

A(2) = 1
A(6) = 3
A(14) = 7
A(30) = 15
...
A(2^p - 2) = (2^p - 2)/2 = 2^(p-1) - 1, para todo p >= 2

e

A(3) = 2
A(9) = 6
A(21) = 14
A(45) = 30
...
A(3*(2^p - 1)) = 2*(2^p - 1), para todo p >= 2

Ou seja, a sequencia A(n)/n possui uma subsequencia convergindo para 1/2 e
outra para 2/3. Logo, nao existe lim A(n)/n ==> (a(n)) nao tem densidade bem
definida. Era um exemplo disso que eu queria e que voce forneceu.

Um abraco,
Claudio.


on 04.12.03 04:56, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
wrote:

> Oi Cláudio.
> 
> *2, 3, *6, 7, 8, 9, *14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, *30, ...
> 
> A idéia é
> 
> a(2^n - 1 + q) = 2*(2^n - 1) + q para n >= 1 e 0 <= q <= (2^n - 1)
> 
> Desta forma, a seqüência é crescente e
> 
> a(2^n - 1) / (2^n - 1) = 2 para n >= 1 e
> 
> a(2^n - 1 + (2^n - 1)) / (2^(n+1) - 2) = [ 2*2^n - 2 + (2^n - 1) ] /
> 2*(2^n - 1) = [ 3*(2^n - 1) ] / 2*(2^n - 1) = 3/2 para n >= 1
> 
> valendo lim inf a(n)/n = 1.5 < 2 = lim sup a(n)/n.
> 
> Abraço,
> Duda.
> 
> 
> 
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>> Alguem saberia dar um exemplo de uma sequencia (a(n)) de inteiros
> positivos,
>> estritamente crescente e tal que liminf a(n)/n < limsup a(n)/n ?
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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