Re: [obm-l] Probabilidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 03.12.03 10:39, Carlos at helynatal@bol.com.br wrote:

> Em um jogo televisivo, o jogador tem à sua frente três
> portas fechadas e sabe que por trás de uma das portas
> está um carro, enquanto que por trás das
> restantes duas portas está um bode em cada uma. O
> jogador escolhe uma porta tendo o direito de ficar com
> o que se encontra por de trás desta.
> 
> Obviamente, o jogador pretende ganhar o carro e não um
> bode. Agora suponhamos que a porta escolhida pelo
> jogador não é aberta imediatamente.
> 
> Em vez disso, é aberta uma das outras portas, que
> revela um bode, e dá-se a oportunidade ao jogador de
> trocar a porta por ele escolhida pela outra
> que ainda se encontra fechada. Qual das duas
> estratégias, trocar ou não trocar ?
> 
> Ou seja qual a probabilidade de abrir e encontrar o
> carro?
> 
> "Pessoal, neste caso a probabilidade é 1/2? Pois o
> espaço amostral não é 3 e sim 2. Vocês acham que esta
> certo?"
> 
Nao! Estah errado! 
A probabilidade de ganhar o carro trocando de porta eh de 2/3.

Vou repetir abaixo o texto de uma mensagem que mandei pra lista em agosto
desse ano:

Chame as 3 portas de A, B e C.
Suponha s.p.d.g. que inicialmente voce escolhe a porta A.

Temos 3 casos a considerar:
1) O premio estah atras de A:
Nesse caso, o apresentador abre B ou abre C (qualquer uma das duas estarah
vazia)
Se voce trocar, voce estarah saindo da porta vencedora e indo para uma das
perdedoras (a que ele nao abriu) - voce perde se trocar.

2) O premio estah atras de B:
Nesse caso, o apresentador abre a porta C.
Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para B - a porta vencedora.
Ou seja, voce ganha se trocar.

3) O premio estah atras de C:
Nesse caso, o apresentador abre a porta B.
Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para C - a porta vencedora.
Ou seja, voce ganha se trocar.

Assim, ao decidir trocar voce perde em um caso e ganha em 2. Supondo que a
probabilidade do premio estar atras de uma dada porta eh 1/3, a sua
probabilidade de ganhar ao trocar eh igual a 2/3 > 1/2. Logo, voce deve
trocar de porta.

Imagine agora 1 milhao de portas, com o carro atras de uma unica porta e
bodes atras das 999.999 restantes. Nesse caso, a decisao eh ainda mais
obvia, pois se voce nao trocar, o que voce estarah dizendo eh que voce
escolheu a porta certa de primeira, um evento que pra voce tem uma
probabilidade de 1 em 10^6.

Suponha que voce tenha escolhido inicialmente a porta no. 1, a qual tem, pra
voce, probabilidade de 1/10^6 de conter o premio.
Isso quer dizer que, pra voce, a probabilidade do premio estar atras de uma
das outras 999.999 portas eh de 999.999/10^6.

Quando o apresentador abre 999.998 portas dentre as 999.999 que voce nao
escolheu, ele estah colapsando a probabilidade de cada porta aberta para 0,
e concentrando a probabilidade total de 999.999/10^6 numa unica porta, que
permanece fechada (estas probabilidades sao sempre do seu ponto de vista. Do
ponto de vista do apresentador, que sabe qual a porta premiada, as
probabilidades sao: 1 do premio estar atras da porta premiada e 0 de estar
atras de qualquer outra).

Nesse caso, voce seria louco de nao trocar de porta.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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