[obm-l] Primeira OBM,1979

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Oi turma!

Atendendo a inumeros mas enumeraveis pedidos, ouvindo Light My Fire do The Doors, sofrendo muito, estou passando a prova da primeira OBM.

Divirtam-se!Talvez eu mande as outras...

 

1ª OLIMPIADA BRASILEIRA DE MATEMATICA -1979

 

 

01-Sejam a,b reais tais que

 

0<=2a<=pi  e   0<=2b<=pi

 

Se a<b prove que a-sen a<b-sen b

 

A ultima desigualdade continua valida se a<b mas 2*pi<=a<=3*pi e 2*pi<=b<=3*pi?

 

02-Seja R(x)=mx+n o resto da divisao de um certo polinomio P(x)

por T(x)=x2-(a+b)x+ab com a e b constantes distintas.

 

(i)Determine m e n em funçao de a e b;

(ii)Determine m e n com P(x)=x^200, a=-1, b=2

(iii)Prove que no caso (ii) m e n sao inteiros.

 

 

03-Um triangulo ABC tem a base AB fixa sobre a reta r e o vertice C desloca-seao longo de uma reta s paralela a r e a distancia h de r.

Determine a curva descrita pelo ponto de encontro das alturas de ABC enquanto C percorre s.

 

04-Prove que o numero de soluçoes inteiras positivas de

 

x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_10=3025 (*)

 

e igual ao numero de soluçoes inteiras nao negativas de

 

y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_10=0

 

Usando este fato conclua que a equaçao (*) tem apenas uma soluçao e determine-a.

 

05-

 

(i)ABCD e um quadrado unitario, M e ponto medio de AB N e medio de BC e I o ponto comum a DN e CM.Calcule a area do triangulo NIC.

(ii)Seja um paralelogramo ABCD e sejam M, N, P, Q medios de AB,BC,CD,DA respectinamente.Prove que a area do octogono estrelado ANDMCQBPA e 60% da area do paralelogramo.

 

(iii)Considere um triangulo isosceles ABC e sejam AM,BN,CP suas medianas e G seu centroide.Prove que a area de AGBC e 2/3 da area de ABC.

 

(iv)a propriedade demonstrada em (ii) e valida para outros quadrilateros ou apenas para o paralelogramo?

---

Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!