Re: [obm-l] Radiciação em Complexos

[Fabio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote:
> Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato.
> Tenho o seguinte problema:
> ...........................................................................
> Calcule:
> a) raiz_cúbica( -11 - 2i)
> [...]

(a + bi)^2 = -11-2i
(a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i

Logo

a(a^2 - 3b^2) = -11
b(3a^2 - b^2) = -2

Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação;  
logo basta resolver o sistema em módulo.

Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a|  
só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível.  
Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 => |b| = 2. Não é muito difícil concluir  
que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas  
podem ser encontradas muliplicando por cis 120.

> [...]
> b) raiz_quarta(28 - 96i)
> [...]

Tire duas raízes quadradas em sucessão.

sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i).

(a+bi)^2 = 7 - 24i
(a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i

a^2 - b^2 = 7
ab = -12

Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos  
tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i).

sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i)

a^2 - b^2 = 8
ab = -3

Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então

(3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por  
cis 90 = i.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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