Re: [obm-l] Integral de uma funcao nula em quase todo um intervalo

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Artur.

Se f é Riemann integrável, é integravel à Lebesgue, e as integrais
coincidem. Um resultado clássico de teoria da integração é que a integral
(respeito à Lebesgue) de uma função não-negativa é zero se e somente se ela
é zero em quase todo o ponto. Se não tens acesso a um livro de medida (como
Bartle ou Fernandez), tente você mesmo demonstrar este resultado.

Seja f : [a,b]->R integrável a Lebesgue nula em quase todo ponto. Podemos
decompor f = (f+) + (f-) nas suas partes positiva e negativa, sendo ambas
integráveis por definição, pois f é integrável. Temos (f+) e (f-)
não-negativas e nulas em quase todo ponto. Segue  do parágrafo anterior que
INT{ (f+) } = 0 = INT{ (f-) } e INT{ f } = 0.

Ok?

Abração,
Duda.


From: "Artur Coste Steiner" <artur@opendf.com.br>
> Boa tarde
> Suponhamos que f:I -> R, I = [a,b], seja Riemann integravel em I e nula
> em quase todo o I. Podemos entao afirmar que Integral (sobre I) f(x) dx
> = 0? Eu tenho quse certeza que sim, mas me enrolei na prova. Segundo o
> criterio da integrabilidade de Lebesgue, o conjunto das discontinuidades
> de f em I tem medida nula, porem nao estamos assumindo que f eh continua
> nos pontos em que eh nula.
> Eu tentei comparar com o caso da funcao de Thomae, mas esta funcao eh
> continua e nula nos irracionais e descontinua nos racionais que, por
> serem numeraveis, tem medida nula. Nao eh exatamente o caso da f acima.
> Al;guem poderia dar alguma sugestao?
> Obrigado
>  Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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