RE: [obm-l] Integral

["Artur Coste Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Henrique!
Nao entendi direito o que o livro fez, mas eh possivel que ele tenha
utilizado um processo que permite calcular esta integral. Esta funcao eh
muito importante, pois eh semelhante aparece na funcao densidade de
probabilidae da distribuicao normal quando temos média zero e desvio
padrao 1. Neste caso, temos e^(-x^2/2)
Seja I a integral desejada. Temos emtao que I^2 pode ser dado pelo
produto de duas integrais en duas variaveis distintas, isto eh, I^2 =
Int(-inf a +inf) e^(-x^2) dx * Int(-inf a +inf) e^(-y^2) dy. Observe que
as duas integrais tem limites fixos, no caso - e + infinito. Se
considerarmos o plano XY, temos portyanto que este produto de integrais
pode ser visto como uma unica integral dupla com limites de integracao
independentes. Ist eh, I^2 = Integral (-inf a +inf) Integral (-inf a
+inf) e^(-x^2) * e^(-y^2) dx dy  = Integral (-inf a +inf) Integral (-inf
a +inf) e^(-x^2 - y^2) dx dy Vamos agora introduzir coordenadas polares,
isto eh, x = r cos(t), y = r sen(t). Como estamos integrando sobre todo
o plano XY (o conjunto R^2) temos que r varia de 0 a inf e t varia de 0
a 2pi. O elemento de area dx dy, conforme sabemos, eh entao equivalente
a r dr dt (usando a notacao de Leibiniz). A nosa integral entao fica
I^2 = Integral (0 a 2pi) Integral (0 a inf) e^(-r^2) r dr dt. Lembro que
estas passagens sao possiveis porque os limites de integracao sao
independentes das variaveis de integracao. Em razao disto, podemos, para
facilitar, transformar esta ultima integral no produto de duas outras
muito simples: I^2 = Integral (0 a inf) e^(-r^2) r dr * Integral (0 a
2pi) dt. Podemos agora aplicar o T. Fundamental do calculo Integral para
concluir que I^2  = [-1/2 e^(-r^2)] (0 a inf) * [t] (0 a 2pi) = 1/2 *
2pi = pi  E como I eh claramente positivo, temos que I = rai(pi). Um
resultado um tanto surpreendente, pois, aparentemente, a integral nada
tinha a ver com pi!
Espero que eu nao tenha feito nehnum engano nas passagens. Mas um dos
processos para resolver esta integral eh este. Acho que existe outro,
envolvendo funcoes complexas e transf. De Fourier, mas agora nao me
lembro.
Artur  

>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>rio.br] On Behalf Of Henrique Patrício Sant'Anna Branco
>Sent: Friday, November 14, 2003 10:36 PM
>To: OBM
>Subject: [obm-l] Integral
>
>Pessoal,
>Dando uma olhada no livro "Um Curso de Cálculo, Vol.3" do Guidorizzi,
ele
>mostrava o cálculo da integral de e^(-x^2), de -infinito a +infinito.
>Logo no começo do cálculo, ele faz
>I(r) = int e^(-x^2) dx de r a -r = int e^(-y^2) dy de r a -r
>Não entendi direito essa passagem, ele simplesmente troca o x por y?
Alguém
>sabe explicar?
>Grato,
>Henrique.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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