Re: [obm-l] num perfeitos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.11.03 18:38, frança luiz at felipenobili@yahoo.com wrote:

> 
> se n for um n?mero perfeito ?mpar,
> mostre que n= (p^r)(m^2) , p primo e m qualquer, onde
> 
> p ? congruente a r que ? congruentre 1(mod 4)
> 
> eu consegui mostrar que n=(p^r)(m^2) e que
> p ? congruente a r que ? congruentre 1(mod 2),
> mas n?o consegui mostrar q tem q ser 1(mod 4)
> 
> alguem tem alguma id?ia?
> 
> 
Sejam:
n = p1^a1*...*pr^ar, onde os pi sao primos impares e os ai sao inteiros
positivos;
S = soma dos divisores positivos de n.

n eh perfeito ==>
S = 2*n ==>
(1 + p1 + ... + p1^a1)*...*(1 + pr + ... + pr^ar) = 2*p1^a1*...*pr^ar

Isso significa que o lado direito (e, portanto, o esquerdo) eh divisivel por
2 mas nao por 4. 

Logo, podemos supor s.p.d.g. que 1 + p1 + ... + p1^a1 eh da forma 2*k, onde
k eh impar (ou seja, 1 + p1 + ... + p1^a1 == 2 (mod 4)) e todos os outros
fatores da forma 1 + pi + ... + pi^ai sao impares.

Como cada pi eh impar, concluimos que a1 eh impar e, para i > 1, ai eh par,
ou seja, a1 = r eh impar e, para i > 1, ai = 2*bi, com bi inteiro positivo.
Logo, podemos escrever n = p1^r*p2^(2*b2)*...*pr^(2*br) = p^r*m^2, onde p =
p1 e m = p2^b2*...pr^br.

Imagino que voce tenha chegado ateh aqui...

*****

Resta provar que p e r sao == 1 (mod 4).

Suponhamos que p == 3 (mod 4). Entao:
p == 3, p^2 == 1, ..., p^r == 3 (mod 4), jah que r eh impar ==>
1 + p + ... + p^r == 0 (mod 4) ==>
contradicao, pois jah estabelecemos que isso eh == 2 (mod 4) ==>
p == 1 (mod 4).

Suponhamos que r == 3 (mod 4). Entao:
1 + p + ... + p^r == 1 + 1 + ... + 1 (1+r fatores) == 1 + r == 0 (mod 4) ==>
contradicao (mesma razao que acima) ==>
r == 1 (mod 4).

E acabou...

Um abraco,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================