Re: [obm-l] Grupo abeliano

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano

Oi, Pedro:

Agora realmente acabou! Obrigado pela solucao engenhosa.

Talvez seja interessante tentar achar todos os n para os quais exista um grupo G nas condicoes do enunciado.

Por enquanto eu achei o 4-grupo (n=2) e Z_3 x Z_3 (n=3) e tenho a impressao de que para todo primo p o grupo Z_p x Z_p tem a tal propriedade.

Jah Z_4 x Z_4 nao tem, mas pode ser que algum outro grupo de ordem 16 a tenha.

Um abraco,
Claudio.


on 31.10.03 16:14, Pedro Antonio Santoro Salomão at ssalomao@zaz.com.br wrote:

>  
> > ----- Original Message ----- 
> > From: Claudio Buffara <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>  
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Sent: Sunday, November 02, 2003 12:24 PM
> > Subject: Re: [obm-l] Grupo abeliano
> >
> > on 30.10.03 20:41, Pedro Antonio Santoro Salomão at ssalomao@zaz.com.br wrote:
> >
> > > Caro Cláudio,
> > > Acho que encontrei uma solução para aquele problema do grupo abeliano.
> > >
> > > Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:
> > >
> > > H inter K = {e}
> > >
> > > Por uma conta direta usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos que
> > >
> > > G = HK = KH
> > >
> > > Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.
> > > Seja h <> e um elemento de H e g <> e elemento qualquer de G.
> > >
> > > Supomos que 
> > >
> > > ghg^(-1) = k onde k está em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H
> > >
> > > Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.
> > >
> > > Então temos
> > >
> > > k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
> > >
> > > Logo
> > >
> > > h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
> > >
> > > O lado esquerdo está em H e o direito em K
> > >
> > > Logo devem ser iguais a e. 
> > >
> > > Concluimos que
> > >
> > > h = k = e
> > >
> > > o que é uma contradição.
> > >
> > > Daí decorre que
> > >
> > > ghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H é normal.
> > >
> > > Como isso vale para qualquer H,
> > >
> > > temos que H, K e todos os outros subgrupos do enunciado são normais em G.
> > >
> > > Agora fica fácil terminar a demonstração.
> > >
> > > Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K, respectivamente.
> > >
> > > Basta ver que
> > >
> > > hkh^(-1)k^(-1) = e, pois 
> > >
> > > hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo acima está em K.
> > > Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser igual a identidade.
> > >
> > > Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1 subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente, que G é abeliano.
> > >
> > > Oi, Pedro:
> > >
> > > Voce demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?
> > >
> > > De qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser acertados!
> > >  
> > > É verdade, faltou o final da demonstração. E esse final parece também interessante.
> > > Se n=2 ou 3, então qualquer um daqueles subgrupos é abeliano e acabou. Consideramos n>=4. Então há pelo menos 5 subgrupos distintos.
> > > Se h1 e h2 <> e estão em H, então escolhemos K,V, M e N outros 4 subgrupos (conforme o enunciado) distintos de H.
> > > Então h1 = kv e h2 = mn (onde k,v,m e n <> e estão em K,V,M,N respectivamente, e esse elementos comutam, como vimos antes). Temos então:
> > >  
> > > h1h2 = kvmn = vkmn = ...... = mnkv = h2h1
> > >  
> > > o completa a demonstração. Acho que agora não falte nenhum detalhe.
> > >  
> > > Um abraço. Pedro.
> > >
> > > Um abraco,
> > > Claudio.
> > >
> > > Achei no começo que precisava usar algum teorema de ação ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares foram necessárias.
> > >
> > > Um abraço. Pedro.