Re: [obm-l] limite de sin(n)^n

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

    Caros Salvador et al,
    Essa serie converge sim, mas nao e' muito facil provar. A minha solucao
usa o fato de pi ser diofantino (o que tem a ver com a linha que o Salvador
sugeriu - a ideia principal e' que aproximacoes racionais boas nao sao
frequentes demais): de fato, para todo racional p/q com q suficientemente
grande, |pi-p/q|>1/q^24, como esta' provado no livro "Pi and the AGM : a
study in analytic number theory and computational complexity", de Jonathan
M. Borwein e Peter B. Borwein (parece que o primeiro resultado desse tipo se 
deve a Mahler, com 1/q^42 em vez de 1/q^24, e o melhor conhecido e' algo
como 1/q^14,65, provado por Chudnovsky e Chudnovsky). Vamos la':
   Primeiro note que se n e' grande e |2/pi-m/n| < d < 1/n entao
|pi-2n/m| < d.n.pi/m < 5d, donde 5d > 1/m^24, e logo d > 1/n^25. Sabemos,
pelo teorema de Dirichlet, que para todo inteiro positivo N, existem q com
1<=q<=N e p inteiros com |2.q/pi-p|<1/N. O fato acima mostra que devemos ter
necessarimente q > N^(1/24). Vamos agora usar argumentos da prova de que se
x e' irracional entao nx(mod 1) e' uniformemente distribuida para tentar
estimar o tamanho do conjunto dos n tais que 2n/pi esta' perigosamente perto
de algum inteiro (como o Salvador sugeriu): 
   Dado k inteiro, existem inteiros positivos p e q<=2^(k/72) tais que 
|2.q/pi-p|<1/2^(k/72) (e, alem disso, |2.q/pi-p| > 1/q^24>=1/2^(k/3)). Assim, 
se n percorre os termos de uma PA de razao q contida em [1,2^k], 
n.2/pi(mod 1) percorre uma PA (mod 1, i.e., no circulo) com razao entre 
1/2^(k/3) e 1/2^(k/72). Como o numero de termos de uma tal PA de valores de
n e' essencialmente n/q>=2^(71k/72)>>1/2^(k/3), n.2/pi (mod 1) da' no maximo
(2^k/q)/2^(k/72) voltas no circulo, e portanto o numero de valores de n em
uma tal PA com |2.n/pi-r|<1/2^(k/3) para algum inteiro r e' no maximo
2.(2^k/q)/2^(k/72) (pois em cada volta passamos no maximo duas vezes perto
do 0), donde, como temos q tais PA's (uma para cada classe de conguencia
mod. q), o numero total de tais n com n<=2^k e' limitado por 2.2^(71k/72) <
< 2^(72k/73). Assim, em particular, existem no maximo 2^(72k/73) valores de
n com 2^(k-1)<=n<=2^k tais que |2.n/pi-r|<1/2^(k/3). A soma de
(1/n).((2+sen(n))/3)^n para esses n e' limitada pela soma de 1/n para 
esses n, que e' no maximo 2^(72k/73).1/2^(k-1)=2/2^(k/73) < 1/2^(k/74). 
   Para os outros valores de n entre 2^(k-1) e 2^k, temos 
|n-r.pi/2|>=(pi/2)/2^(k/3)>1/2^(k/3), e logo, 
como sen(pi/2+d) <= 1-d^2/3 se d e' suficientemente pequeno,
(1/n).((2+sen(n))/3)^n<=(1/2^(k-1)).(1-1/(3.2^(2k/3)))^(2^(k-1)) < 
< (1/2^(k-1)).e^(-2^(k-1)/(3.2^(2k/3))) = (1/2^(k-1)).e^(-2^(k/3))/6), e
logo sua soma para esses n e' no maximo 2^(k-1).(1/2^(k-1)).e^(-2^(k/3))/6) =
= e^(-2^(k/3))/6) << 1/2^k. 
   Assim, a soma os termos da nossa serie com 2^(k-1)<=n < 2^k e' no maximo
1/2^(k/74)+1/2^k << 1/2^(k/75), cuja serie em k converge, o que prova a
convergencia da serie original.
   Abracos,
             Gugu


>
>
>Caro Gugu,
>
>Desculpe incomoda-lo com isso, mas queria saber se voce pensou sobre a
>convergencia daquela soma, onde aparecia
>
>((2+sin(x))/3)^n
>
>
>Eu estou pensando em algo um pouquinho mais simples,
>
>
>soma de |sin(n)|^n  e acho que isto esta ligado ao
>        ----------
>            n
>
>seguinte problema:
>
>
>Pegue todos os pares (n,m) tais que |2/pi*n-m|<1/(n^0.5)  (*)
>
>O que se pode dizer da soma do inverso dos n que satisfazem (*) ?
>
>
>
>Desculpe se te incomodo com isso.
>
>
>
>Um abraco,
>
>Salvador
>
>
>
>
Oi Cláudio!

Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor copiou
mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era trivial)
Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
ainda não encontraram a solução.

A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que você,
e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
questão de seqüências equidistribuídas.

Ele não me parece tão difícil, o que você acha?

Abraço, Duda.


From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
wrote:
>
> > Oi Pessoal!
> >
> > E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
> >
> > Abraço, Duda.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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