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Caro Cláudio,
Acho que encontrei uma solução para aquele problema
do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem
n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:
H inter K = {e}
Por uma conta direta usando cardinalidade, que
alguém já tinha feito, sabíamos que
G = HK = KH
Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo
H daqueles do enunciado é normal em G.
Seja h <> e um elemento de H
e g <> e elemento qualquer de G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k está em algum
daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H
Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H,
respectivamente.
Então temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo está em H e o direito em
K
Logo devem ser iguais a e.
Concluimos que
h = k = e
o que é uma contradição.
Daí decorre que
ghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H é
normal.
Como isso vale para qualquer H,
temos que H, K e todos os outros subgrupos do
enunciado são normais em G.
Agora fica fácil terminar a
demonstração.
Se H e K são subrgrupos normais de G tais
que H inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.
Basta ver que
hkh^(-1)k^(-1) = e, pois
hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo acima
está em K.
Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto,
o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser igual
a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1
subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente,
que G é abeliano.
Achei no começo que precisava usar algum teorema de
ação ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares
foram necessárias.
Um abraço. Pedro.
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