Re: [obm-l] Duvida!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 28, 2003 at 11:49:21PM -0200, Felipe Pina wrote:

Oi Felipe, a sua explicação foi muito boa mas achei esta parte um pouco
confusa:

>     A completude de R significa que não existe um número 'fora' de R que 
> pode ser arbitrariamente aproximado por uma seqüência de numeros reais.
>     Por exemplo, o conjunto dos números racionais nao é completo pois 
> existem seqüêcias de números racionais que 'convergem' para números que 
> não são racionais (por exemplo, para raíz de 2).

Acho que o que você quer dizer é mais ou menos o seguinte.

Seja K um corpo ordenado. Sempre existem corpos ordenados maiores,
i.e., sempre existem corpos ordenados K1 tais que existe um homomorfismo
crescente e injetor K -> K1. Por exemplo, se K for Q (os racionais)
podemos tomar K1 = Q(sqrt(2)) = {a + b sqrt(2); a, b in Q}
(onde uso 'in' onde deveria aparecer o símbolo de pertence).

Uma construção que funciona sempre é tomar K1 = K(X), o corpo das funções
racionais com coeficientes em K. A ordem é definida assim: um polinômio
p in K[X] é maior do que 0 se o seu coeficiente de mais alto grau for positivo
(no sentido de K); a partir daí é automático como definir para
funções racionais. Nesta construção X é maior do que qualquer elemento de K
e podemos dizer que X é infinitamente grande.

O corpo Q está naturalmente incluído dentro de qq corpo ordenado.
Dizemos que K é arquimediano se Q for ilimitado em K.
Ou seja, K é não-arquimediano se existir x in K com x > a para todo a in Q.

A completude de R é equivalente a dizer que R é arquimediano mas
que se R -> R1 é uma inclusão não trivial então R1 é não-arquimediano.
Além disso, todo corpo arquimediano é isomorfo a um subcorpo de R.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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