Re: [obm-l] Matrizes e seus polinomios caracteristicos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 28.10.03 16:38, leonardo mattos at leonar_matt@hotmail.com wrote:

> Ola pessoal,
> Uma certa resolucao de uma questao do ime de matrizes me despertou um
> interesse pelo polinomio caracteristico de uma matriz jah q ateh entao eu
> nao tinha ouvido falar, ateh pq eu sei apenas o basico de algebra linear =]
> Eu gostaria de saber o seguinte:
> - Para cada matriz eu tenho apenas 1 polinomio caracteristico ou uma matriz
> pode ter mais de 1?
O polinomio caracteristico de uma matriz quadrada A eh unico e, por
definicao, igual a p(x) = det(xI - A).

> - Que situacoes podem amarrar o grau de um polinomio caracteristico de uma
> matriz? Se eu disser por exemplo q uma matriz eh idempotente eu jah amarro o
> grau do polinomio caracteristico dessa matriz?
Na verdade voce deve falar em "o" (e nao "um") p.c. de uma matriz, pois este
eh unico, por definicao. O grau do p.c. soh depende da ordem da matriz. Uma
matriz n x n tem um p.c. de grau n. Eh soh olhar pra definicao. O termo de
maior grau do p.c. corresponde a diagonal principal de det(xI - A), que eh
igual a: (x - a(1,1))*(x - a(2,2))*...*(x - a(n,n)). Isso implica, por
exemplo, que o p.c. de uma matriz eh monico.

Existe um outro polinomio associado a matriz que eh o polinomio minimo - por
definicao, igual ao polinomio monico de menor grau que tem aquela matriz
como raiz. Nao eh dificil provar que:
1) o p.m. de uma matriz eh unico;
2) o p.m. divide o p.c. e, de fato, qualquer outro polinomio que tenha a
matriz correspondente como raiz;
3) Se A <> I e A^2 = A, entao 0 eh raiz do p.c. de A. Repare que isso afeta
o termo independente do p.c. de A mas nao o seu grau, que eh igual a ordem
da matriz.


> Basicamente oq eu gostaria de saber eh isso, mas se alguem quiser comentar
> mais alguma coisa saiba que seu comentario sera de grande utilidade =]
> 
> Um abraço, Leonardo
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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