Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 28, 2003 at 12:40:10PM -0300, Carlos Alberto wrote:
> A questão é:
>  
> Determine uma função quadrática tal que f(-1)=-4, f(1)=2 e f(2)=-1:
>  
> Eu estava resolvendo dessa maneira.
>  
> f(x)=ax^2+bx+c então temos que,
>  
> f(-1)=a-b+c=-4
>  
> f(1)=a+b+c=2
>  
> f(2)=4a+2b+c=-1
>  
> Teremos um sistema assim:
>  
> a - b + c = -4
> a + b + c = 2
> 4a + 2b + c = -1
>  
> Tenho que achar o valor de a,b e c!!!
>  
> Só que ai esta o problema, eu não lembro como se faz... Alguém poderia me ajudar??

A melhor maneira de resolver sistemas lineares é fazendo operações nas
equações para obter outras equações mais fáceis (quando isto é feito
de forma mais organizada chama-se eliminação gaussiana).

Somando as duas primeiras linhas temos 2a + 2c  = -2 donde a + c = -1
ou c = -a-1. Fazendo a segunda linha menos a primeira temos 2b = 6 ou b = 3.
Substituindo isso tudo na última equação temos 4a + 6 + (-a-1) = -1 ou
3a = -6 ou a = -2. 

Resumindo, a = -2, b = 3, c = 1 e a função é f(x) = -2 x^2 + 3 x + 1.
Substituindo você pode verificar que dá certo.

Aliás este problema (encontrar um polinômio de grau mínimo dados os seus
valores em alguns pontos) chama-se interpolação de Lagrange.
Se damos n pontos e pedimos um polinômio de grau menor do que n,
o sistema sempre tem no máximo uma solução pois não existem polinômios
de grau < n com de n raízes. Sabendo um pouco de álgebra linear você
deduz que *existe* solução. Ou, sem álgebra linear nenhuma, você pode escrever,
no seu caso,

f(x) = (-4(x-1)(x-2)/(-1-1)(-1-2)) +
        + (2(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)) + (-1(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)).

e é só expandir.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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