Dei uma olhada na quest�o 5 da obm nivel 3 e achei
legal.
Segue abaixo minha solu��o (e o tradicional espa�o em branco pra
n�o atrapalhar que quer tentar
ainda).
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Minha
id�ia � a seguinte : se a fun��o � negativa pra algum valor de x, ent�o ela
tb � para valores menores (pois � crescente). Ent�o vou olhar para uma
sequ�ncia decrescente convergindo pra zero. Mas tenho que usar que � m�dia
harm�nica, logo, se 0< x < y, considere a sequ�ncia x(n)
definida por x(n) � a m�dia harm�nica de x(n+1) e y e x(1)=x. � f�cil
ver ent�o que x(n+1) = x(n)*y / (2y-x(n)) (claramente x(n)>0), (por
constru��o a sequencia � claramente decrescente). Agora vamos usar a
hip�tese do problema que f(m�dia harm�nica de a e b) >= [f(a)+f(b) ]/ 2.
Temos que f(x(n)) >= (1/2)*(f(x(n+1))+f(y)). Segue por indu��o ent�o (ou
iterando a rela��o acima) que f(x(n)) <= f(y) + 2^n (f(x)-f(y)) e como
f(x)-f(y) < 0 e 2^n fica arbitrariamente grande para n grande, temos que
para n grande o lado direito dessa inequa��o � negativo, portanto temos
f(x(n)) negativo.
Abra�os.
Villard