Dei uma olhada na questão 5 da obm nivel 3 e achei
legal.
Segue abaixo minha solução (e o tradicional espaço em branco pra
não atrapalhar que quer tentar
ainda).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Minha
idéia é a seguinte : se a função é negativa pra algum valor de x, então ela
tb é para valores menores (pois é crescente). Então vou olhar para uma
sequência decrescente convergindo pra zero. Mas tenho que usar que é média
harmônica, logo, se 0< x < y, considere a sequência x(n)
definida por x(n) é a média harmônica de x(n+1) e y e x(1)=x. É fácil
ver então que x(n+1) = x(n)*y / (2y-x(n)) (claramente x(n)>0), (por
construção a sequencia é claramente decrescente). Agora vamos usar a
hipótese do problema que f(média harmônica de a e b) >= [f(a)+f(b) ]/ 2.
Temos que f(x(n)) >= (1/2)*(f(x(n+1))+f(y)). Segue por indução então (ou
iterando a relação acima) que f(x(n)) <= f(y) + 2^n (f(x)-f(y)) e como
f(x)-f(y) < 0 e 2^n fica arbitrariamente grande para n grande, temos que
para n grande o lado direito dessa inequação é negativo, portanto temos
f(x(n)) negativo.
Abraços.
Villard