[obm-l] Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG); Re: [obm-l] perguntas simpl363rias (PG)n ^

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olá a todos. Tenho duas dúvidas bem ingênuas, peço até desculpas a vocês.
Desde já Agradeço.
Nao hah porque pedir desculpas. E antes de se aprender, todo mundo tem
duvidas "ingenuas". Ninguem nasce sabendo

1º) Qual o porque da referência à geometria na Progressão geométrica?
Eu acho que, conforme outros jah disseram, eh porque, numa PG, cada termo, a
partir do segundo, eh a media geometrica entre o anterior e o seguinte. Numa
PA, temos a media aritmetica. Mas talvez, no caso de tais progressoes, haja
explicacoes que desconheco mais ligadas aa geometria e aa aritmetica.

2º) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente
qual a diferença entre sequência convergente e divergente.

Acho que fica mais facil de entender se os conceitos de sequencia e de serie
forem bem caracterizados. Algumas vezes diz-se que uma sequencia eh uma
sucessao do tipo a1, a2, a3... Embora esta seja uma forma natural de vermos
uma sequencia, tal caracterizacao eh muito imprecisa e obscura. A definicao
formal de sequencia eh, entretanto, bem simples: Eh simplesmente uma funcao
cujo dominio eh o conjunto dos naturais.  Mas, como o conjunto N dos
naturais tem, nao apenas na matematica formal, mas em quase tudo na vida, um
papel indexador (eh o mais numeravel de todos os conjuntos numeraveis! - se
eh que se pode dizer que um conjunto eh mais numeravel que outro..), eh
muito conveniente, justamente para enfatizar tal papel, que, ao inves de se
utilizar os classicos () para representar  o elemento associado a n,
escreva-se simplesmente a_n, em vez de algo como f(n), para representar o
n-gesimo termo da sequencia.
Dentro deste definicao, toda sequencia tem infinitos termos, pois hah
infinitos numeros naturais. Mas os termos nao tem que ser distintos e eh
perfeitamente possivel que a imagem de uma sequencia (o conjunto dos valores
pela mesma assumidos) seja finito. (A seq. a_n=1 para todo n continua tendo
infinitos termos mas o seu conjunto imagem eh {1}.)
Na grande maioria dos casos, ao se usar o termo sequencia estah se querendo
signficar uma sequencia infinita, definida em N. Entretanto, algumas vezes
usa-se o termo se. finita para siginificar uma funcao definida em um
segmento inicial de N, ou seja, um conjunto do tipo {1,2....n}.
Quanto aa sua primeira duvida, convergencia, dizemos que uma sequencia
infinita (para sequencia finitas o conceito nao se aplica) se a mesma
apresentar um limite L. Isto, informalmente, significa que aumentando-se n
podemos tornar a_n tao proximo de L quanto desejarmos. Em termos formais
(considerando-se sequencias em R ou em espacos vetoriais reais): para todo
eps>0 arbitrariamente escolhido, existir um natural k =k(eps) (esta ultima
notacao significa que k depende de eps) tal que, se n>= k entao |a_n-L|<eps.
Assim, PGs de razao q com |q|<1 sempre convergem para zero. A seq. (a_n
=1/n, n=1,2...} tambem, pois para qualquer eps>o podemos escolher k(eps)
como o menor inteiro maior ou igual a 1/eps, tendo-se entao  |a_n| < eps
para n>= k(eps).
O conceito de série, ou séries infinita, ou soma infinita, eh informalmente
definido como uma soma do tipo S =a_1 +a_2 +a_3....... Isto eh muito
impreciso e obscuro. Para entendermos series de forma correta, consideremos
inicialmente uma seq. {a_n} (infinita) conforme anteriormente definimos. A
esta sequencia, associemos uma outra, {S_n}, denominada de "sequencia das
somas parciais de {a_n}", definida da segunte forma:
S_1 = a_1
S_n = S_n-1 + a_n para todo natural n>=2. Assim , para n>=2 temos que S_n =
a1...+a_n, disto decorrendo a denominacao "soma parcial". Dizemos entao que
{S_n} eh a "serie gerada por {a_n}" a qual eh simbolicamente grafada como
Soma a_n ou Soma (n=1, oo) a_n. Soma eh grafada como o classico simbolo de
somatorio, o sigma maiusculo. Quando a sequencia {a_n} estah subtendida e
nao hah margem a ambiguidade, utilizamos simplesmente o termo "série".
Logo, uma serie eh um caso especial de sequencia. E dizemos que uma serie
converge se a a sequencia S_n, das somas parciais, for convergente.
Nao dah para eu continuar, aproveitei um tempinho livre no trabalho. Mas
acho que ja dah para vc perceber como uma serie geometrica eh formada e
quando converge. Eh facil demosntrar que converge se q, a razao da PG que da
origem aas somas parciais, tiver |q| <1.
Espero que eu nao tenha sido chato.
Artur 

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