[obm-l] Re: [obm-l] Interpretaçao do corpo R[x]/(x^2 + 1)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Bom, tente imaginar que o que está ao lado do '/' é um ideal gerado pelo
polinômio x²+1, ou seja
<x² + 1> = {(x²+1).f(x), f(x) pertencendo a R[X]}

R[x]/<x^2 + 1> é um anel de polinômios em x com coeficientes em R, por ser o
quociente de anéis, temos que x²+1 é um elemento neutro, temos então uma
classe de elementos, assim como teríamos tomando Zn (neste caso teríamos 1 =
n+1 = 2n+1 = ...).

no caso de polinômios temos por exemplo que x + 1 = x² + x + 2 = (x² +
1).g(x) + x + 1 = ...
o que significa que as nossas classes de polinômio podem ser definidas de
forma única pelos restos da divisão de polinômios de R[X] por x²+1.

é bom explicar isso porque a '/' não é uma divisão de polinômios nem nada
desse tipo, o conceito é mais geral e sutil.

agora a mágica da coisa... tome o elemento x + <x² + 1> em R[x]/<x^2 + 1>,
veja que esse elemento é raiz do polinômio x² + 1, pois (x + <x² + 1>)² =
(x² + 1) + <x² + 1> = 0!

então agora fica simples ver que o elemento x + <x² + 1> é o "i" dos
complexos!
o isomorfismo aparece daí, pois basta ver que os polinômios desse nosso anel
(que na verdade é um corpo pois x²+1 é irredutível) são representados por
polinômios de grau 1 em x, logo são da forma ax + b, sabendo que o x e o i
são a mesma coisa, vemos que os elementos desse corpo são da forma ai + b,
com a e b reais... preciso ser mais formal que isso?

se os corpos são isomorfos então sua cardianlidade é a mesma, logo há
infinitos elementos em C e em R[x]/<x^2+1>.

obs: note que R[x]/<x^2 + 1> é corpo porque x²+1 é irredutível...

espero ter ajudado mais do que complicado!

[ ]'s

----- Original Message ----- 
From: "Carlos Maçaranduba" <soh_lamento@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, October 12, 2003 6:44 PM
Subject: [obm-l] Interpretaçao do corpo R[x]/(x^2 + 1)


Qual sao os elementos de R[x]/(x^2 + 1)???Sao todos
os restos de polinomios de coeficientes reais que sao
divididos por x^2 + 1???Entao esse resto poderá ser um
polinomio???Pq se diz que ele é isomorfo ao corpo dos
complexos???É pq a raiz de x^2 + 1 é i(unidade
imaginaria)???Quantos elementos possui este corpo??

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