Re: [obm-l] Progressão

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.10.03 17:14, cfgauss77 at cfgauss77@bol.com.br wrote:

> Demonstra que um número real x é racional se e somente
> se a sucessão
> x; x + 1; x + 2; x + 3; : : : ; x + n; : : :
> contém, pelo menos, três termos em progressão geométrica.
> 
>
Pro problema ter graca, a PG deve ser nao-constante...

 
Se x eh racional, entao x = m/n com m, n inteiros co-primos e n <> 0.

Escolha inteiros p, q, x, y e z tais que:
0 < p < q,  0 <= x < y < z,  m + nx = p^2, m + ny = pq, m + nz = q^2
Isso sempre pode ser feito pois como mdc(m,n) = 1, as congruencias:
nx == p^2 (mod m),
ny == pq (mod m),
nz == q^2 (mod m)  
tem solucao.

Assim, teremos:
(m + nz)/(m + ny) = q^2/(pq) = q/p
e
(m + ny)/(m + nx) = (pq)/p^2 = q/p.

Ou seja, (m + nz)/(m + ny) = (m + ny)/(m + nx) ==>
m + nx, m + ny, m + nz estao em PG ==>
m/n + x, m/n + y, m/n + z estao em PG ==>
a sequencia contem uma PG de 3 termos distintos.

*****

Se a sequencia contiver uma PG de 3 termos distintos, entao vao existir
inteiros m, n, p tais que 0 <= m < n < p  e  (x+p)/(x+n) = (x+n)/(x+m) ==>
x^2 + (m+p)x + mp = x^2 + 2nx + n^2 ==>
(m+p-2n)x = n^2-mp

Se m+p-2n = 0, entao n^2 - mp = 0 ==>
n = (m+p)/2 = raiz(mp) ==>
m = p ==>
contradicao, pois estamos supondo m < p.

Logo, soh pode ser m+p-2n <> 0.
Nesse caso, x = (n^2-mp)/(m+p-2n) = racional


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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