Re: [obm-l] Particao de R

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Will:

Acho que a sua ideia dah certo.

Depois da n-esima iteracao, voce terah 3^n sub-intervalos, cada um de
tamanho 1/3^n e tais que, chamando c(k) = cor do k-esimo sub-intervalo:
c(2m) = amarelo
c(2m - 1) = branco, para m inteiro positivo.

Alem disso, a soma dos comprimentos dos intervalos amarelos produzidos em
cada iteracao forma uma sequencia crescente:
1/3, 4/9, 13/27, ..., (1/2)*(1 - 1/3^n), ...
e a soma dos comprimenmtos dos intervalos brancos forma uma sequencia
decrescente: 
2/3, 5/9, 14/27, ..., (1/2)*(1 + 1/3^n), ...
Ambas convergem para 1/2, o que implica que A e B sao nao enumeraveis (jah
que todo subconjunto enumeravel de R tem comprimento zero).

Alem disso, uma analise semelhante de qualquer sub-intervalo produzido a
partir da n-esima iteracao irah provar que este intervalo (de comprimento
1/3^n) possui uma infinidade nao-enumeravel de pontos de A e de B.

Agora, sejam a e b reais tais que 0 <= a < b < 1.
Como 1/3^n tende a zero, existem m e p naturais tais que:
a < p/3^m < (p+1)/3^m < b.
Assim, qualquer intervalo (a,b) conterah um sub-intervalo produzido em
alguma iteracao do processo e, portanto, terah interseccao nao enumeravel
com A e B.

Finalmente, eh soh repetir a construcao para todos os intervalos da forma
[k,k+1) com k inteiro, e teremos uma particao da reta em dois subconjuntos
com a propriedade desejada.

Gostei!

Um abraco,
Claudio.

on 03.10.03 00:28, Will at will@ism.com.br wrote:

> Pensei na seguinte construção...
> 
> Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco.
> 
> Divida-o em três pedaços.
> Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo.
> 
> Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um
> pouco.
> Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços,
> pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo
> Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco.
> 
> Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso
> de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa)
> 
> Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações
> pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B.
> 
> - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção...
> 
> Will
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
> Subject: [obm-l] Particao de R
> 
> 
> Oi, pessoal:
> 
> Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
> conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter
> I sao nao-enumeraveis?
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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