[obm-l] =?iso-8859-15?Q?=C1lgebra_Linear?=

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

    Olá a todos,

    há algum tempo foi proposto o seguinte problema :

    Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K
    Seja X um subconjunto L.I. de V com n elementos
    Prove que X é uma base para V

    E algumas soluções foram oferecidas. Eu gostaria de apresentar uma 
(pseudo)solução adicional que usa o seguinte teorema :

    Teorema
    -------
    Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K
    Então V e W são isomorfos <=> dimensão(V) = dimensão(W)

    Solução
    -------
    Seja E=[X] o espaço vetorial gerado por X (sobre o corpo K).
    Como X é L.I. e X gera E, X é uma base para E.
    Ora, dimensão(E) = cardinalidade(X) = n = dimensão(V)
    Pelo Teorema acima, E é isomorfo a V.
    Mas sabemos que E < V (onde '<' significa 'contido').
    Então temos um isomorfismo entre um subconjunto de V (a saber, E) e o 
próprio V.
    Gostaria de concluir que E = V mas não consigo...
    Bom, mas isto mostra, entre outras coisas, que a imagem de X pelo 
isomorfismo acima é uma base de V.
    Logo, a menos de isomorfismos, X é realmente uma base de V.

    Obs : De fato, E = V (igualdade de conjuntos), mas com esta trilha não 
consegui mostrar isto. Talvez alguém possa me ajudar.

[]s
Felipe Pina
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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