Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico

Oi, Duda:

Eu estou mais lerdo que o de costume.

Aqui estah o contra-exemplo:
a = raiz(2) e b = 1 + raiz(3) tem ambos grau 2.
No entanto, a*b = raiz(2) + raiz(6) tem grau 4 > 2 = MMC(2,2).

Logo, o maximo que dah pra dizer eh realmente que:
grau(a+b) e grau(a*b) <= grau(a)*grau(b).

Um abraco,
Claudio.

on 28.09.03 21:48, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> Verdade. E ainda nao consegui achar nenhum. O menor caso nao trivial (onde m < n < MMC(m,n) < m*n), seria com m = 4 e n = 6, mas eh meio sacal ficar tentando na mao pois eu nao tenho acesso a nenhum pacote matematico adequado. Por outro lado, pode ser que a conjectura esteja certa para o caso de a*b... Alias, agradeco a quem mandar uma demonstracao ou um contra-exemplo.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> on 27.09.03 21:29, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:
>
> > Oi Cláudio.
> >  
> > Acho que faltou o contra-exemplo para o caso grau(a*b) <= MMC(grau(a), grau(b)).
> >  
> > Duda.
> > > ----- Original Message ----- 
> > > From: claudio.buffara <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>  
> > > To: obm-l <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>  
> > > Sent: Friday, September 26, 2003 8:42 AM
> > > Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> > >
> > > Oi, Domingos e Dirichlet:
> > >
> > > De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <= MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
> > >
> > > Contra-exemplos:
> > > 1 + raiz(2)   e   -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
> > > raiz(2)  e  -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
> > > raiz(2)  e  raiz(3)  tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
> > >
> > > A resposta correta eh a seguinte:
> > > Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
> > > Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
> > > a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
> > > Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
> > > Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
> > > Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
> > >
> > > O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
> > > grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b)
> > > bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
> > >  
> > > Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
> > >  
> > > Um abraco,
> > > Claudio.
> > >  
> > > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> > > Para: 
> > > Cópia: 
> > > Data: Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300
> > > Assunto: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> > >   
> > > > http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
> > > >  
> > > >  
> > > > Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
> > > > Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
> > > >  
> > > > ----- Original Message ----- 
> > > > From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <mailto:peterdirichlet2002@yahoo.com.br>  
> > > > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > > Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
> > > > Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> > > > > 
> > > > > Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
> > > > "Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".