[obm-l] Convergencia de uma sequencia real

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

   Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui 
resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar.

   Seja (a[n]) a seqüência real definida por :
   a[0] = 1
   a[1] = 1
   n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) )

   Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, 
para todo n, 1 <= a[n] <= 2.
   Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que 
conseguimos mostrar foi que :

   (1)  a[k+1] >= a[k] >= a[k-1]  ->  1 <= a[k] <= r
   (2)  a[k+1] <= a[k] <= a[k-1]  ->  r <= a[k] <= 2
   (3)  a[k] = a[k-1] = 2         ->  a[k+1] = 2              (Durh!)

   Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ 
1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ]
   Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence 
ao intervalo [1,2]
   Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que :

   (N1) r <  a[k] <= 2   ->   (a[k+1] < a[k]) ou (a[k] < a[k-1])
   (N2) 1 <= a[k] < r    ->   (a[k+1] > a[k]) ou (a[k] > a[k-1])

   Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos 
descer agora! :)
   Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas.
   E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora.
   Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( 
por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umas    osciladas espertas.. 
sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa....
   Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este 
problema. Aguardo comentários.

   []s
   Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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