RE: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Niski,
Acho que podemos provar da seguinte maneira:

Como a funcao e^(a_1*x) jamais se anula, a proposicao eh valida para
n=1.
Suponhamos agora que seja valida para algum natural n e admitamos, por
via de contradicao, que nao seja valida para n+1. Temos entao que
existem c_1,...c_n, c_n+1, nao todos nulos, tais que
c1*e^(a_1*x)...+...c_n*e^(a_n*x) + c_n+1*e^(a_n+1*x) = 0 (1) para todo
real x. Dado que, para n, o conjunto, por hipotese, eh L.I., segue-se
entao, necessariamente, que c_n+1<>0 e que nem todos os c_1,...c_n sao
nulos.  Para ver isto, observemos que, se c_n+1=0, entao, como para n o
conjunto eh L.I., a unica forma de satisfazer a (1) seria termos tambem
c_1=...c_n=0, e todos os c1,...c_n+1 seriam nulos. E como c_n+1<>0,
anulando-se todos os c_1,...c_n nao poderiamos satisfazer a (1). 
Temos entao que c_n+1*e^(a_n+1)x = -c_1*e*(a_1*x).... -c_n*e^(a_n*x)(2)
para todo real x. Diferenciando-se os 2 membros, temos, para todo real
x, que a_n+1*c_n+1*e^(a_n+1*x) = -a_1*c_1*e*(a_1*x)....
-a_n*c_n*e*(a_n*x) (3).
Se a_n+1<>0, entao, combinando-se (2) e (3), temos, tambem para todo
real x, que Soma (i=1,n) [(a_i*c_i)/(a_n+1*c_n+1)-(c_i/c_n+1)]e^(a_i)*x
=0 --> Soma (i=1,n) (c_i/c_n+1)*(a_i/a_n+1 -1))*e^(a_i*x) =0 (4). Como
os numeros a_1,...a_n+1 sao distintos 2 a 2, entao a_i/a_n+1 -1 <>0 para
todo i=1,...n; e como os numeros c_i, i=1, 2...n nao sao todos nulos,
segue-se que pelo menos um dos coeficientes das funcoes exponenciais na
soma de (4) nao eh nulo. Isto, porem, contraria a hipotese de que, para
n, o conjunto ek L.I.
Se a_n+1=0, entao nenhum dos a_1,...a_n eh nulo, e (3), cujo primeiro
membro se anula, nos mostra que, para n, o conjunto nao eh L.I, mais uma
vez uma contradicao.

Concluimos assim que, se o conjunto for L.I. para algum natural n,
tambem o serah para n+1. Dado que ele eh L.I, para n=1, a inducao fica
completa, comprovando-se a afirmacao feita.
Abracos
Artur 
  

 Logo, (a_n+1-1)c_n+1*e^(a_n+1*x) = c_1(1-a_1)*e^(a_1x)...+..
c_n(1-a_n)*e^(a_nx) (2). Se a_n+1<>1, entao o primeiro membro de (2)
nunca se anula e, para satisfazer a esta igualdade, 

 Se a_n+1<>0, entao e^(a_n+1*x)=
(1/(a_n+1*c_n+1))*[-a_1*c_1*e^(a_1*x)...- a_n*c_n*e^(a_n*x) e,
consequentemente,  

 Se a_n+1 <>0, entao, para todo x real, temos que
(1/c_n+1)*[(a_1*c_1/a_n+1*c_n+1 -c1)*e^(a_1*x)      

----Original Message-----
> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of niski
> Sent: Saturday, September 20, 2003 12:50 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
> 
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
> 
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo
então
> seria L.I certo?
> Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios
e
> trocas de sinais malucos...sem resultado..
> Alguem poderia provar por gentileza?
> Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
> algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
> Agradeco antecipadamente.
> 
> Niski
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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