RE: [obm-l] Conjunto denso em R

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> > O que significa intersecao nao trivial?
> > A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos
> topologicos, e
> > que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X.
> Eu deveria ter escrito não vazia em vez de não trivial.
> A sua definição é equivalente à que eu dei.

Ah! Obrigado. O Eduardo Casagrande tambem fez esta observacao.

Com relacao ao topico original deste asunto, o problema apresentado pelo
Claudio, eu andei pensando nele (no original, aquele que aparece no livro do
Erlon). O Claudio disse que a prova baseada no pricipio da casa dos pombos
estava errada, mas eu creio que eh possivel e provar com base neste
principio. Penguei assim um gancho na ideia do Claudio, que me pareceu OK.
Queremos mostrar que, se a eh irracional, entao A= {n*a+m | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Para facilitar, observemos que:

(1) Eh suficiente mostrar que, para todo eps>0, A intersecta (0, eps) --
Pois, se x pertence a A interseccao (0, eps), entao a sequencia {x, 2x,
3x...} estah em A eh e uma PA de razao eps. Logo, para todo real r existe um
inteiro k tal que kx estah em (r, r+eps)

(2) Em virtude de (1), basta mostrar que existem u e v em A tais que
|u-v|<eps. Pois A eh fechado com relacao aa soma. A  existencia destes u e v
implica, portanto, a existencia de um w em A tal que |w|<eps. E como w em A
acarreta -w em A, a conclusao decorre.

Para todo real x>=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, de
modo que x = Ix + frac(x), com 0<=frac(x)<1. Ix eh o piso de x, o maior
inteiro <= x. Temos entao que S = {frac(na) | m eh natural} eh infinito.
Para ver isto, observemos que se m<>n entao frac(ma)<>frac(na). Pois, se
frac(ma)=frac(na) para n<>n, entao ma - na = Im - In, com Im e In inteiros.
Segue-se entao que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional. Isto
nos mostra que os termos da sequencia {frac(na)} sao distintos 2 a 2, o que
implica que S eh numeravel e infinito.  
 
Tomemos agora [0,1] e o dividamos em um numero finito de intervalos fechados
de comprimento <eps (para todo eps>0, isto eh possivel). Eh imediato que S
eh um subconjunto infinito de [0,1]. E eh aqui que entra em cena o pricipio
da casa dos pombos. Logo, pelo menos um dos subintervalos em que dividimos
[0,1] tem que conter 2 ou mais elementos de S. Na realidade, tem que conter
infinitos elementos de S. Existem assim uma infinidade de naturais p e q
para os quais |frac(pa) - frac(qa)|<eps. Mas, da definicao de A e de
frac(x), isto acarreta a existencia de uma infinidade de elementos u e v de
A satisfazendo a |u-v|<eps. Basta observar que, somando-se um inteiro m a
frac(pa) e frac(qa), obtemos elementos de A conforme, desejado.

Considerado-se agora (1) e (2), o teorema fica demonstrado. A menos de
equivoco, estah absolutamento certo....

Um detalhe interessante: a hipotese de que A eh irracional e realmente
fundamental. Se a for racional, o conjunto S sera sempre finito e o
principio da casa dos pombos deixa de ser aplicavel. N realidade, se a for
racional, entao A nunca eh denso em R.
Estou pensando naquele outro problema, um tanto mas sutil que o Claudio
apesentou. Ainda nao consegui provar, mas me parece que com uma modificacao
dos argumentos aqui apresentados eh possivel usar o principio da casa dos
pombos.
Um abraco
Artur

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