[obm-l] RE: [obm-l] Quest�es da Olimp�ada de Maio de 1999 (reenviada)

[Jo�o Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

Quest�o 1:
Um n�mero natural de tr�s algarismos � chamado de tric�bico se � igual a
soma dos cubos dos seus d�gitos. Encontre todos os pares de n�meros
consecutivos tais que ambos sejam tric�bicos.
100x + 10y + z = x3 + y3 + z3 
e
100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3
Subtraindo uma da outra e desenvolvendo, temos
z2 + z=0, logo z = 0 (n�o pode ser negativo)
 
Logo, x3 + y3 � divis�vel por 10. Analisando os cubos m�dulo 10 obtemos que
y = x-10
Logo,
100x + 10*(x-10) = x3 + (x-10)^3
x^2 - 13x + 30=0
x = 3 ou x = 10 (n�o vale)
 
logo, os �nicos tricubicos consecutivos s�o 370 e 371

-----Original Message-----
From: Rodrigo Maranh�o [mailto:rodrigomaranhao@terra.com.br]
Sent: Wednesday, September 10, 2003 8:30 PM
To: OBM - Lista
Subject: [obm-l] Quest�es da Olimp�ada de Maio de 1999 (reenviada)



 

Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista n�o o encaminhou j� q
estava com figura.

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Abaixo v�o dois problemas da olimp�ada de maio de 1999 que eu gostaria de
saber as respostas:

Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tric�bicos
consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta �
essa.

 

Problema 1

Um n�mero natural de tr�s algarismos � chamado de tric�bico se � igual a
soma dos cubos dos seus d�gitos. Encontre todos os pares de n�meros
consecutivos tais que ambos sejam tric�bicos.

 

Problema 3

A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os n�meros de 1 a 10, em
ordem crescente.

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

            [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

A segunda fileira se preenche com os n�meros de 1 a 10, em qualquer ordem.

Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois n�meros escritos
nas casas acima.

Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os
algarismos das unidades dos n�meros da terceira fileira sejam todos
distintos?

 

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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