[obm-l] Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999

["Bernardo Vieira Emerick" <bernardoemerick@xxxxxxxxxxx>]

Problema 1: (Não sei se está certo, então peço que verifiquem e apontem 
possíveis erros). Seja a = (ABC), por exemplo 725 = (725), A = 7, B = 2, 
C=5.
Se (ABC) = A^3 + B^3 + C^3, e (AB(C+1)) = A^3 + B^3 + (C+1)^3, então, como 
(AB(C+1)) - (ABC) = 1, 3C(C+1) = 0. Como C não pode ser negativo, C=0. Os 
números terminam em 0, e os consecutivos, é claro, terminam em 1.
Como C = 0, então (AB0) = A^3 + B^3.
1^3 =1; 2^3 = 8; 3^3 = 27; 4^3 = 64; 5^3 = 125; 6^3 = 216; 7^3 = 343; 8^3 = 
512; 9^3 = 729.
Quando A + B = 10, (AB0) é solução. O consecutivo será (AB1).
A solução é S = {(250,251), (280,281), (370,371), (520,521), (730,731)}, em 
que ((ABC), (AB1)) são os pares pedidos.
Eu acho que é isso.
Abraços,
Bernardo


>From: Rodrigo Maranhão <rodrigomaranhao@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "OBM - Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
>Date: Wed, 10 Sep 2003 14:53:07 -0300
>
>Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria
>de saber as respostas:
>
>Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos
>consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta
>é essa.
>
>
>
>Problema 1
>
>Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
>soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
>consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
>
>
>
>Problema 3
>
>A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a
>10, em ordem crescente.
>
>
>
>
>
>
>A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer
>ordem.
>
>Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números
>escritos nas casas acima.
>
>Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os
>algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos
>distintos?
>
>
>

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