Re: [obm-l] Conjunto denso em R

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Conjunto denso e quando entre dois elementos
quaisquer sempre ha mais um...> x < y + na + m < y, e segue que existe um

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Pois então, a minha prova (elementar) está correta, vai aqui completa:

Seja B = {na - m | n, m inteiros não negativos, a > 0 irracional}
B é fechado em relação a adição, basta ver que:
(na - m) + (ka - l) = (n + k)a - (m + l), com (n + k) e (m + l) inteiros não
negativos.

Teorema: Existem infinitos pares p, q de inteiros tal que |p/q - a| < 1/q².
Note que podemos obter valores de q arbitrariamente grandes.

então a = p/q + e, com 0 < |e| < 1/q²
na - m = n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
agora tome n = q, m = p, temos
na - m = ne = qe, e logo |na - m| = |qe| = q|e| < 1/q

isso mostra que podemos obter valores arbitrariamente próximos de 0 para
|na - m|.
sendo assim, sejam x < y elementos de B.
existe então um par p, q de inteiros que satisfaz 0 < |qa - p| < y - x.
se qa - p > 0 então:
    x < x + qa - p < y, e como provamos B é fechado em relação a adição,
logo existe um elemento entre x e y.
se qa - p < 0 então:
    x < y + qa - p < y, e pelo mesmo argumento existe um elem. entre x e y.

[ ]'s


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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