[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra Linear

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Se V1,V2,....,Vn é uma base para um espaço vetorial W,
mostre que V1+V2,V2+V3,V3+V4,...,Vn-1+Vn,Vn+V1 é uma
base para W se e somente se W tem dimensão ímpar.

+-----+

se provarmos que B = {v1 + v2, v2 + v3, ...., vn + v1} é um conjunto LI ele
é necessariamente uma base de W, pois possui n vetores.

suponha que a1, ..., an são tais que a1(v1 + v2) + a2(v2 + v3) + ... + an(vn
+ v1) = 0
então
v1(a1 + an) + v2(a1 + a2) + v3(a2 + a3) + ... + vn(a[n-1] + an) = 0
<=> a1 = -an, a1 = -a2, a2 = -a3, ..., a[n-1] = -an pois {v1, v2, ..., vn} é
LI.

então temos (a1 não nulo)
(a1, a2, ..., an) = (a1, -a1, a1, -a1, ..., -a1), mas isso só pode ser
verdade se n for par, sendo assim B é LD <=> n é par, logo provamos que B é
base de W <=> dimW = n é ímpar.

[ ]'s

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================