Re: [obm-l] Problema - Ajuda

[André Martin Timpanaro <andre_math@xxxxxxxxxxx>]

Seja f(x)=x^n - 1 - n*x + n.
Para todo n >0 f(1) =0.
f '(x)=n*x^(n-1) - n.
Para todo n >1, f '(1) =0.
f "(x)=(n^2 - n)*x^(n-2).
Logo f "(1) =0 se e somente se
n^2 - n =0 => n =0 ou n =1.
Para n >1 e x>0 , f "(x)>0.
Então para n >1 , f(1) é mínimo local.

Se n>1:
f(x) = x^n - n*x +n -1 =
(x-1)*(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1-n)=
((x-1)^2)*(x^(n-2)+2*x^(n-3)+3*x^(n-4)+...+(n-3)*x^2+(n-2)*x+n-1)=
((x-1)^2)*g(x)
Note que se x>0 , g(x) é crescente e portanto nesse intervalo
g(x)>g(0)=n-1>0. Também
(x-1)^2>=0.
Logo se n>1 e x>0,f(x)>=0

Se n=1:
f(x)=x-1-x+1=0
Logo f(x)>=0

Se n=0:
f(x)=1-1=0
Logo f(x)>=0

Então se x>0 e n é natural, então f(x)>=0
CQD

André T.



>From: "Bernardo Vieira Emerick" <bernardoemerick@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Problema - Ajuda
>Date: Wed, 03 Sep 2003 17:18:20 +0000
>
>Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n, para 
>todo x>0 (x é real) e todo n natural.
>Valeu aí, para quem tentar.
>Abraços,
>Bernardo
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