Re: [obm-l] Geometria

["Eduardo F. Botelho" <matematika@xxxxxxxxxxxx>]

paraisodovestibulando wrote:
> Olá Pessoal,
> 
> Gostaria de uma ajuda nessas duas questões:
> 
> 
> Num triângulo ABC, retângulo em A, a medida do ângulo B 
> é 60º. As bissetrizes destes ângulos agudos se encontra 
> num ponto D. Se o segumento de reta BC mede 1 cm, então 
> a hipotenusa mede, em cm:
> 
> a)(1+sqrt(3))/2
> b)1+sqrt(3)
> c)2+sqrt(3)
> d)1+2sqrt(2)
> e)1+2sqrt(3)

Imagino que o segmento de que vc fala seja o segmento BD, caso contrário 
o  problema não faria sentido.
	O ponto D é o incentro. Trace a bissetriz do aãngulo A, que passa por 
D. No triângulo ABD, use a lei dos senos: 1/sen(45) = AD/sen(30) => AD = 
1/sqrt(2). Trace a altura do triângulo ABD e chame o pé da altura dee H. 
Usando cos nos triângulos ADH e BDH, dedscubra que AH = 1/2 e BH = 
sqrt(3)/2 . Logo AB = [1+sqrt(3)]/2 . Agora olhe para o trtiângulo 
maior: cos60= AB/BC => AB = 1+sqrt(3) , se não errei nas contas. Mas 
talvez haja um jeito mais imediato de chegar a esse resultado...


> 
> 
> Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente 
> iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única 
> possível para o perímetro de Q.
> 
> a)10
> b)25
> c)15
> d)30
> e)20

Aqui basta usar as desigualdades triangulares. A,B,C,D são os vértices e 
a diagonal que mede 4 é a que liga os vértices A a C. Olhe para o 
triângulo ABD: 6 < AB+AD . No triangulo BCD, 6 < BC+CD . Somando as 
duas, 12<AB+BC+CD+AD, que é o perímetro. Agora vamos buscar uma 
desigualdade que limite o perímetro. Se P é o ponto de interseção das 
diagonais, temos: AB < AP+BP , BC<BP+CP , CD<CP+DP , AD<DP+AP . Somando, 
AB+BC+CD+DA< 2(AP+CP)+2(BD+DP) = 2*4 + 2*6 = 20 . Então só nos resta a 
letra c.

Abraço
Eduardo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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