Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos

on 02.09.03 22:26, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Eu realmente nao conhecia esta formula. Vou ateh tentar demonstra-la, eh um problema interessante(embora eu nao conheca muito Teoria dos Numeros). 
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> A demonstracao nao usa nada alem do teorema da fatoracao unica dos inteiros e um pouco de perspicacia pra se enxergar todas as implicacoes de cada passagem.  Por exemplo, tem um ponto onde voce precisa usar o fato de que se mdc(a,b) = 1 e a*b eh um quadrado perfeito, entao a e b sao quadrados perfeitos.
>
> Uma outra forma de vermos que o raio eh inteiro eh observarmos que , num triangulo retangulo,  o raio do circulo inscrito eh dado por r = p-a. Logo, para o triangulo primitivo temos r = (2m^2+2mn)/2 ­ (m^2+n^2) = mn ­n^2 = n(m-n). 
>
> Tambem eh possivel provar que o raio do circulo circunscrito a um triangulo pitagorico primitivo nunca eh inteiro.
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> E aqui vai um mais dificil: Prove que a area de um triangulo pitagorico nunca eh um quadrado perfeito.
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> Um abraco,
> Claudio.
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> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Claudio Buffara
> Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:29 PM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Triangulos Pitagoricos 
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> on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote: 
>
>
> Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e  5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo.
> Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica.
> Artur
>
> Oi, Artur:
>
> Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos):
>
> a = k*(m^2 + n^2)
> b = k*(m^2 - n^2)
> c = k*2mn
>
> onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m > n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo).
>
> Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele.
>
> *****
>
> Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro.
>
> Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras:
> Area = b*c/2 = p*r  ==>  
> r = b*c/(2*p) 
> onde: p = semi-perimetro   e   r = raio do incirculo.
>
> Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo:
> r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n ==> sempre inteiro.
>
> Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. 
>
> *****
>
> A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista.
>
> Um abraco,
> Claudio.