Re: [obm-l] Re: [obm-l] BELEZA MATEMATICA - Resultado da Enquete

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.09.03 13:26, peterdirichlet2002@zipmail.com.br at
peterdirichlet2002@zipmail.com.br wrote:

Oi, Dirichlet:

Acho todos os seus comentarios validos. Assim, vou tentar responde-los um a
um.

> So algumas coisinhas:
> 1)O metodo probabilistico poderia ser incluido nao pelas aplicaçoes
> sofisticadas
> mas pela ideia em si, que e bem simples.

Concordo que a ideia eh simples e brilhante. No entanto, imagine este metodo
sendo apresentado a alunos de 2o. grau. Eles podem ateh achar o principio
bem obvio, mas no momento em que eles pedirem um exemplo de aplicacao do
metodo a coisa vai complicar. Assim, a fim de evitar:
i) dar um no na cabeca de todo mundo com um exemplo muito sofisticado, ou
ii) deixar a coisa assim no vazio, somente citando o metodo mas sem dar
nenhum exemplo,
acho que o melhor eh nao apresenta-lo.

> se fossemos pensar assim nao incluiriamos o Teorema Fundamental da Algebra.

Mas o teorema fundamental da algebra eh usado implicitamente toda vez que
alguem resolve uma equacao polinomial. Alem disso, existe uma bela
demonstracao (e curta tambem - 1 pagina e meia) do teorema usando apenas
metodos elementares (veja o livro do Heinrich Dorrie - cap.23 - que eu citei
nas referencias) onde o conceito de limite entra da maneira um pouco
informal mas totalmente correta e "rigorizavel" e que eh uma bela ilustracao
de manipulacoes algebricas inteligentes com numeros complexos.

> 2)Cardinalidade de conjuntos e sobre conjuntos e nao analise.

Tudo bem, se voce quiser ser absolutamente preciso. Soh que se voce reparar
bem, tirando os livros especificos sobre teoria dos conjuntos, os livros que
dedicam maior espaco ao assunto sao justamente os de analise (eu diria que
eh pelo fato do conceito de cardinalidade depender do conceito de funcao -
objeto central da analise). De mais a mais, no Proofs from the Book
cardinalidade tambem eh tratada na secao sobre analise.

> 3)Voce nao colocou a desigualdade de Erdös-Mordell na parte de geometria.Alias
> tem muita coisa em geometria que nao foi contada...Por exemplo o caso n=3
> do porisma de Steiner-Poncelet,e o escudinho da OBM,e o teorema de Feuerbach.

A esses exemplos eu adicionaria os teoremas de Steiner-Lehmus, Menelaus,
Ptolomeu, Morley, Napoleao, as retas de Simson, o fato de que o centro do
circulo dos 9 pontos estah sobre a reta de Euler, etc, etc, etc...2500 anos
de teoremas lindos e inusitados, isso pra soh ficar na geometria plana. A
enquete nao eh sobre toda a matematica, mas apenas sobre o que ha de mais
bonito nela. Nao ha duvida de que varios outros teoremas poderiam ter sido
incluidos, mas se eu fosse ser enciclopedico, o reultado da enquete nao
seria publicado nunca.
 
> 4)O Teorema dos Infinitos Primos da forma Nk+1 e razoavelmente facil, so
> leva tempo pra entender.

Pode ateh ser. O problema eh que se um teorema precisar de muito tempo e/ou
muitos pre-requisitos pra ser entendido, eu acho que ele comeca a sair do
escopo do 2o. grau. Lembre-se: a enquete dizia respeito a teoremas
acessiveis a alunos NORMAIS de 2o. grau. Claramente, voce nao eh um aluno
normal...

> 5)Voce deveria esperar mais um pouco,so prpo pessoal enviar mais ideias...

Eu propus a enquete no dia 9 de agosto. Em 3 semanas, alem de mim, apenas 8
outras pessoas responderam, e todas na primeira semana. Eh verdade que voce
foi mandando sua lista de teoremas em doses homeopaticas, o que pode ter
feito com que eu deixasse escapar alguma coisa mas, mesmo assim, sua ultima
mensagem a respeito foi no dia 15/08. Eu achei que se nesses ultimos 15 dias
ninguem mais se manifestou, entao ninguem mais iria se manifestar mesmo.
Assim, resolvi publicar o resultado.

De qualquer forma, nada o impede de enviar para lista teoremas ou problemas
que voce ache bonitos ou interessantes. Alias, eh para isso que ela existe.

> 6)Em Teoria dos Numeros,voce poderia incluir a demonstraçao de que
> 2^(1/2) e irracional,como uma boa utilização do principio da boa ordenação.
> "Nao e dificil perceber que 1<2^(1/2)<2
> Construa o conjunto S={x natural t.q. x*2^(1/2) é natural}
> =N inter N*2^(1/2).
> Vamos demonstrar que este conjunto e vazio.
> Se S nao for vazio, seja m o seu minimo.Vamos provar que
> (2^(1/2)-1)*m esta em S.
> De fato,este cara e maior que zero, e ((2^(1/2)-1)*m)*2^(1/2)= 2*m-2^(1/2)*m,
> que e natural.
> Assim sendo, como m e minimo, 2^(1/2)-1>=1, que e obviamente falso.
> E fim!
> Para acabar, se 2^(1/2) fosse racional,existiria um natural t tal que
> 2^(1/2)*t
> e inteiro. E demonstramos o contrario ndisso no paragrafo anterior.Logo,fim!"
>
Otimo! Soh que essa demonstracao eh mais complexa do que a usual (suponha
que raiz(2) = m/n com m,n inteiros primos entre si, etc....) Alem disso,
existe o teorema das raizes racionais com o qual se prova o caso geral
(m^(1/n) eh inteiro ou irracional) e que eh uma consequencia imediata de um
resultado que consta na enquete (mdc(a,b) = 1 e a divide b*c ==> a divide
c).

No mais, o principio da boa ordenacao jah estah bem representado na enquete
por meio do teorema de Bezout (um resultado com muito mais aplicacoes do que
a irracionalidade de raiz(2)) e do caso n=4 to ultimo teorema de Fermat.

Um abraco,
Claudio.
 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================