Re: [obm-l] provar desigualdade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 16.08.03 23:58, luis-cu at luis-cu@bol.com.br wrote:

> alguem pode me diser como demostrar essa desigualdade
> 
> corolario: sejam A1, A2, A3,..., An reais positivos e um
> K pertecente aos naturais, entao:
> 
> (A1ek(OBS:A1 elevado a K) + A2eK +...+AneK)/n > ou = a
> [(A1 + A2 + A3 +...+ An)/n]eK
> 
> valeu ae
> um abraço
> zanforlin
> 
> 
Isso eh consequencia da desigualdade de Chebichev:

Se a1, ..., an e b1, ..., bn sao reais tais que:
0 <= a1 <= ... <= an  e  0 <= b1 <= ... <= bn, entao:

((a1 + ... + an)/n)*((b1 + ... + bn)/n) <= (a1*b1 + ... + an*bn)/n

com igualdade <==> a1 = an  e  b1 = bn.

Isso pode ser demonstrado a partir da desigualdade:
SOMA(1<=i,j<=n) (ai - aj)*(bi - bj) >= 0

(vale a pena tentar, pois apesar de ser um exercicio de algebra braçal, leva
a um resultado interessante)

*****

Para demonstrar a desigualdade do enunciado, eh soh fazer bi = ai para
1 <= i <= n e aplicar Chebichev k-1 vezes.

Repare que, como bi = ai, voce pode supor s.p.d.g. que os ai's estao
ordenados.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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