[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Yuri.

Eu acho que você tem razão.

Fixando n, nós temos duas expressões

p(a) = a^n - 1

q(a) = a^Phi(a^n - 1) - 1

A primeira é um polinômio de grau n, a segunda não tem cara de ser um
polinômio (de fato, fazendo a crescer, ela cresce na forma a^a, que é muito
mais veloz do que um polinômio, portanto não pode ser um polinômio). O
Dirichlet intuiu que nós podemos chegar a uma expressão relação do tipo
t^n-1 | t^(fi(a^n-1))-1, mas não sei como se chegaria a isso. O caminho que
o Cláudio usou - utilizando o teorema de Euler - colocará o t dentro do
expoente que tem o Phi.

Acho que ainda está por resolver.

Duda.

From: <yurigomes@zipmail.com.br>
>
> Oi Claudio,
>
> Eu não entendi pq vc considerou polinômios para provar a última passagem,
> jah que a está fixo. Ou seja, vc tem que
> a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1
>  e não que x^n-1 divide x^Phi(a^n - 1) - 1 para todo x.
>    Se eu tiver falado alguma besteira, me avisem!
>   Ateh mais,
>  Yuri
> -- Mensagem original --
>
> >on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
wrote:
> >
> >> Olá pessoal!
> >>
> >> Prove que se n > 1 e a > 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1).
> >>
> >> PHY é a função de Euler.
> >>
> >> Abraço,
> >> Duda.
> >>
> >
> >Oi, Duda:
> >
> >Eh claro que mdc(a,a^n - 1) = 1
> >
> >Entao, pelo teorema de Euler, teremos:
> >a^Phi(a^n - 1) == 1 (mod a^n - 1) ==>
> >
> >a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 ==>
> >
> >n divide Phi(a^n - 1)
> >
> >***
> >
> >Essa ultima passagem pode ser vista da seguinte forma:
> >
> >Sejam x^n - 1 e x^n - 1 polinomios (portanto m, n inteiros)
> >
> >x^n - 1 divide x^m - 1 mas n nao divide m ==>
> >
> >m = qn + r com 0 < r <= n-1 ==>
> >
> >x^m - 1 = x^(qn + r) - 1 = x^(qn)*x^r - x^r + x^r - 1 =
> >= x^r(x^(qn) - 1) + x^r - 1 ==>
> >
> >x^n - 1 divide x^r - 1 com 0 < r < n ==>
> >
> >contradicao.
> >
> >
> >Um abraco,
> >Claudio.
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