Re: [obm-l] Dúvida - Combinatória

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Dúvida - Combinatória

on 15.08.03 08:17, Celso Junior dos Santos Francisco at paracelsjunior@yahoo.com.br wrote:

> Sobre uma reta r e uma outra paralela a ela , marcam-se 13 , sendo que a maioria deles sobre r . Sabendo que a razão entre o número de quadriláteros e o número de triângulos com vértices nesses pontos é 14/11, Pergunta-se , qual é o números de pontos que estão sobre a reta r ?
>
> OBSERVACAO: O enunciado deveria dizer "numero de quadrilateros CONVEXOS", pois dados os pontos A e B sobre r e C e D sobre a paralela (supondo as retas horizontais, B a direita de A e D a direita de C), os quadrilateros possiveis tendo estes pontos como vertices sao: ABDC (convexo), ABCD e ACBD (nao-convexos - em forma de gravata borboleta).
>
> Com essa hipotese adicional (se admitirmos quadrilateros nao convexos, o problema nao tem solucao), teremos:
>
> n pontos sobre r, 13-n sobre a paralela, com n >= 7.
>
> NTri = C(n,2)*(13-n) + C(13-n,2)*n = [n(n-1)(13-n) + (13-n)(12-n)n]/2 = n(13-n)*11/2
>
> NQua = C(n,2)*C(13-n,2) = n(n-1)(13-n)(12-n)/4
>
> NQua/Ntri = (n(n-1)(13-n)(12-n)/4) / (11n(13-n)/2) = (n-1)(12-n)/22 = 14/11 ==>
>
> (n-1)(12-n) = 28 ==> n = 5 ou n = 8 ==> n = 8.
>
>  
> Um abraco,
> Claudio.