Re: [obm-l] continuidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at edalbuquerque@uol.com.br wrote:

> Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar
> o delta apropriado?
> 
> Grato por qualquer ajuda.
> 
> Eder
> 
Oi, Eder:

Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao contem x = 0.

Seja  a <> 0. Temos que provar que lim(x -> a) 1/x = 1/a.


Seja eps > 0.

Como a <> 0, teremos |a| > |a|/2 > 0

Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 )

|x - a| < delta ==>

a - delta < x < a + delta ==>

a - |a|/2 < x < a + |a|/2 ==>

se a < 0, entao 3a/2 < x < a/2
e
se a > 0, entao a/2 < x < 3a/2 ==>

de qualquer jeito, |x| > |a|/2 ==> 1/|x| < 1/(|a|/2)

Assim:
|1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) < delta/(|a||a|/2) = 2delta/a^2 <= eps


Um abraco,
Claudio.


PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriado voce acha
resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo:

|1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) < delta/(|a||x|) <= eps ==>

delta <= eps*|a|*|x|

A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante inferior para |x|
(no caso, eu achei |a|/2).



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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