Re: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-l,

A sua solucao e bonita e usa recursos do nivel no qual ela foi proposta.

Segundo a pessoa que me mostrou, a questao foi apresentada para alunos com 
grau de estudo equivalente ao nosso nivel 2 ( setima e oitava series ). Essa 
a razao de nao se poder usar calculo na resolucao. Nao sei de qual pais e.

Na resposta considerava-se que zero tambem era raiz.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,2325,050803

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))
>Date: Tue, 05 Aug 2003 19:05:51 -0300
>
>on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
>
> > Ola Pessoal !
> >
> > Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) :
> >
> > Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a 
>raiz
> > quadrada de X.
> >
> > Regra : Nao vale usar calculo !
> > Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ...
> >
> > Um Abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1508,010803
> >
>Oi, Paulo:
>
>O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos.
>
>x^x = 2^(-raiz(x)) ==>
>
>(x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) ==>
>
>x^raiz(x) = 1/2
>
>Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso:
>
>x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 ==>
>n/2^(n/2) = 1 ==>
>n = 2^(n/2) ==>
>n^2 = 2^n ==>
>n = 2  ou  n = 4  ou  n = -a,
>onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a)
>(repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de
>abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou
>irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa)
>
>n > 4 ==> 2^n > n^2 ==> n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n
>
>Portanto:
>n = 2 ==> x = 1/4
>Testando:
>x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2)
>2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) ==>
>x = 1/4 eh raiz
>
>n = 4 ==> x = 1/16
>Testando:
>x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4)
>2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) ==>
>x = 1/16 eh raiz
>
>n = -a ==> x = 2^a
>Testando:
>x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a)
>2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) ==>
>x = 2^a nao eh raiz
>
>Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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