[obm-l] IMC - problema 2 (2o dia)

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Segue abaixo a solução do problema 2 do 2o dia. Vou deixar um espaço pra
quem quiser tentar!

 02) Calcule o seguinte limite
           2x
           /
    lim    |   (sin t)^m/t^n dt          (m,n naturais)
    x->0+  /
           x

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Pronto!  Vamos dividir em três casos:
 (i) m< n-1: pelo teorema do valor médio, existe t em (x, 2x) tal que int(x
ateh 2x) (sent)^m/t^n dt = x.(sent)^m/t^n. Logo, lim(x->0+) int(x ateh 2x)
(sent)^m/t^n dt=
lim(x->0+) x.(sent)^m/t^n=
lim(x->0+)(x/t).(sent/t)^m.[1/t^(n-1-m)].
 Nesse último limite, (sent/t)^m -> 1 (pois sent/t -> 1), x/t é limitado
(pois t em (x,2x) => 1/2 < x/t < 1) e [1/t^(n-1-m)]
-> oo, já que n-1-m > 0. Logo, nesse caso, o limite é oo.
 (ii) m> n-1: seguindo o mesmo raciocínio, temos
lim(x->0+) int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt=
lim(x->0+) x.(sent)^m/t^n=
lim(x->0+)(x/t).(sent/t)^(n-1).(sent)^(m-n+1)
  De modo análogo, x/t é limitado, (sent/t)^(n-1)-> 1 e
(sent)^(m-n+1)-> 0. Assim, o limite é igual a zero.
 (iii) m=n-1: se fizermos o mesmo raciocínio, concluiremos apenas que o
limite está entre 1/2 e 1, mas não chegamos a nenhuma fórmula fechada. Façamos
o seguinte: temos
int(x ateh 2x) (sent)^m/t^n dt=
int(x ateh 2x) (sent)^m/t^(m+1) dt
 Derivando por partes a expressão (sent/t)^m, concluímos que
  (sen2x/2x)^m - (senx/x)^m=
int(x ateh 2x){[m.(sent)^(m-1).cost]/t^m - [m.(sent)^m]/t^(m+1)
 Passando o limite, o lado esquerdo fica igual a 0. de modo que
lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt =
lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1).cost]/t^m dt
 Não é difícil provar que
 lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1).cost]/t^m dt=
 lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1)]/t^m dt
 Isso se deve ao fato de cost->1 qdo t->0. Temos então
 lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt =
lim int(x ateh 2x)[.sent^(m-1)]/t^m dt .
  Em particular,
 lim int(x ateh 2x) (sent)^m]/t^(m+1) dt =
lim int(x ateh 2x) (sent)^0]/t^(0+1) dt =
lim int(x ateh 2x) 1/t dt= ln(2x)-lnx= ln2.

 Algumas passagens podem ter ficado obscuras, e eventualmente pode haver
algum erro. Qq coisa, me avisem!
  Ateh mais,
  Yuri
 


[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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