1) Seja G um grupo. Dado um G-set X :
a) Mostre q a ação do grupo G induz um homomorfismo T : G em P(X). [P(X) é o grupo das permutações dos elementos de X].
b) Mostre q quando X = G, o homomorfismo T induzido é um monomorfismo.
c) Conclua q todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de P(G).
(a) Isto e' consequencia da definicao de acao de um grupo sobre um conjunto!
(b) Neste caso, a acao e' dada por multiplicacao `a esquerda. Se g induz a identidade, em particular g*1 = 1, isto e', g=1. Logo ker do hom. e' trivial, ie, o hom. e' um monomorfismo.
(c) Segue de (b), G e' isomorfo `a sua imagem em P(G).
2) Dado um subgrupo H < G, considere a ação # : G em G/H dada por # (g,xH) = (gx)H.
a) Mostre q o núcleo do homomorfismo induzido por esta ação é um subgrupo de H.
b) Mostre q se nenhum subgrupo de H é normal em G e [G : H] = n então G é isomorfo a um subgrupo do grupo de permutações de n elementos.
c) Assuma q G é finito e seja p natural o menor primo q divide a ordem de G. Mostre q se [G : H] = p então H < G.
(a) Nucleo (kernel) e' sempre um subgrupo; e' inclusive um subgrupo normal.
(b) Acho que ha' uma pequena incorrecao aqui: H=1 e H=G sao sempre subgrupos normais. Mas se, com excecao destes casos triviais, G nao possui subgrupos normais, entao ele e' dito um grupo simples. Neste caso, a acao de G sobre as classes laterais G/H induz um homomorfismo de G em Sn (grupo das permutacoes de n elementos, conhecido como grupo simetrico). Como eu disse em (a), o kernel deste hom. e' um subgrupo normal de G, logo e' igual a 1 ou a G. Se for igual a G, entao gH=H para todo g em G, entao G=H, o que e' absurdo. Logo o hom. e' injetor e define um isomorfismo com um subgrupo de Sn.
(c) Esta e' uma notacao esquisita para subgrupo normal, mas vamos la'. Considere a acao de G sobre G/H; como [G:H]=p, temos um hom. f de G em Sp. Olhando para o que acontece com a classe H, e' facil ver que ker(f) e' um subgrupo de H. Se ker(f)=H, entao H 'e normal em G; caso contrario, f(H) fixa H, entao f(H) e' um subgrupo de S_{p-1}. Entao temos f(H) = H/(ker f) e' um subgrupo nao trivial de S_{p-1}, logo sua ordem e' divisivel por um primo menor que p, e portanto o mesmo ocorre para H. Isto contradiz o fato de que p e' o menor primo que divide |G| (use Lagrange).
Espero que isto ajude.
Ate',
ET
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